「国立科学博物館で学ぶ物理学」メニュー

ジャイロホイール

回折

HR図

国立科学博物館で学ぶ物理学　＜素粒子標準理論概要＞

[概説]

非相対論的量子力学/ｼｭﾚｰﾃﾞｨﾝｶﾞｰ方程式

[関連メニュー]

　　＜目次＞
　　　　　[Ⅰ]　素粒子標準理論～俯瞰

　　　　　[Ⅱ]　標準理論の主要な原理

　　　　　　　　　　　　(a)変分原理　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　①質点の理論における変分原理　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　②場(波動関数）の理論における変分原理　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　③経路積分

　　　　　　　　　　　　(b)対称性（原理）  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　①ローレンツ対称性  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　②ゲージ対称性

　　　　　　　　　　　　(c)不確定性原理／量子化

　　　　　[Ⅲ]　標準理論に至る主要な数式一覧・説明

　　　　　　　　　　　　(1)非相対論的量子力学～ 主として電子／シュレーディンガー方程式 ～   
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(a)調和振動子の解   
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(b)クーロン場（原子）の解(シュレーディンガー方程式）

　　　　　　　　　　　　(2)相対論的量子力学／量子電気力学（ＱＥＤ）
                                    ①自由粒子のディラック方程式
                                    ②電磁場と相互作用する粒子(電子）のディラック方程式
                                    　　　　(a)自由粒子の解
                                    　　　　(b)電磁場の解
                                    　　　　(c)電磁場中の荷電粒子（特に水素原子の電子）のエネルギー解
                                    　　　　(d)電磁場中の荷電粒子の磁気モーメント解

　　　　　　　　　　　　(3)ゲージ理論
　　　　　　　　　　　　　　　      (a)ゲージ場とゲージ変換　 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①大域的ゲージ変換   
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②局所的ゲージ変換　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(b)ヤン・ミルズ場

　　　　　　　　　　　　(4)ヒッグス場理論  
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(a)対称性と質量       
                                             ①局所的ゲージ対称性とボゾン質量の禁止
                                             ②カイラル対称性とフェルミオン質量の禁止
                                    (b)ヒッグス機構（ボゾン・フェルミオンの質量）
                                    (c)湯川相互作用（フェルミオンの質量）

　　　　　　　　　　　　(5)標準理論
                                    (a) ＧＷＳ(グラショウ・ワインバーグ・サラム)理論／電弱統一理論
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ① レプトン質量／ヒッグス機構
                                             ② レプトンの相互作用
                                    (b) 狭義標準理論（電弱統一理論）総まとめ (小林・益川理論、ニュートリノ振動）
                                    (c) ＱＣＤ理論／量子色力学理論

　　　　　[Ⅳ]　標準理論の解法／経路積分法・格子ゲージ理論

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（これ以降が実験との対比で不可欠であるが、これまた膨大な説明を要するので、本サイトでは記述できていません）　　　



＜参考＞特殊相対論関連（反変ベクトル・共変ベクトル、ミンコウスキー空間の計量、ローレンツ変換 、４元ベクトル、電場の強さ）

[Ⅰ]素粒子標準理論　　（素粒子にどんなものがあるのかの簡単な説明は、素粒子／霧箱・サイクロトロンを参照してください。）

現代物理学の双璧は、一般相対性理論と素粒子標準理論である。それぞれは、以下のように、形式的にはシンプルな式で表される。前者は重力を扱うマクロの理論であり、後者は重力を含まないミクロの理論である。最先端物理学はこの２つを同時に表す究極の理論（万物の理論、神の方程式）を追及している。その一つの候補が超弦理論といわれるものとされるが未完成である。

　　　　＜一般相対性理論＞ 一般相対性理論については、[一般相対性理論基本]をご覧ください。その全容と応用について解説しています。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu}$
　　　　＜素粒子標準理論＞ D^(/)はﾌｧｲﾝﾏﾝ･ｽﾗｼｭと呼ばれる記法で、通常、Dと/を重ね書きします。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+i\bar{\Psi}D^{(/)}\Psi+h.c.+\bar{\Psi}_i y_{ij}}\Psi_j\phi+h.c.+|D_{\mu}\phi|^2-V(\phi)$

さて、素粒子標準理論が、上に示したような "たった一行の方程式" で表される理論と言われれても全く分かりませんよね。

数式の第１項は力の源泉である場を表し、第２項(h.cを含む）は粒子の性質および粒子と場との相互作用（力など）を表し、第３項以降は粒子の質量を表すというのですが、余り直観的とも言えません。このように標準理論の式は、一般相対性理論のように物理的意味が単純でもなく、また扱う数学も複素関数論・群論・線形代数（行列）などなど普段馴染みのないものを用い、且つ物理学特有の略記法を多用するため、極めて複雑なものとなるのです。超弦理論者に言わせれば、３６種ものクォークがあり、理論で導きだせないパラメータが２０もある、"最も醜い理論"であるのです。

このように複雑難解で醜い理論の全容を簡単に説明することは不可能に近いが、その概要でも表せないかと敢えて挑戦してみることにしましょう。
下図に、標準理論に至る物理学の理論を体系的に示しておきます。図中には、キーワードや有名な方程式を上げておきます。標準理論とは一言で言えば、「対称性」を原理とする理論で、ラグランジアン密度を対称性を満足するように構築した理論です。対称性の追求の中で生じる不都合（電子の電荷・質量の無限大、素粒子の質量０）を補完する繰り込み理論・自発的対称性の破れなどの理論が加わります。肝心の標準理論の解法（繰り込み理論を含む）については、これまた膨大・複雑で素人には手に負えない難物であるので、本サイトでは扱っておりません。

[Ⅱ]標準理論の主要な原理

本節の内容を理解するには、次節以降で説明する内容（最低でも＜参考＞特殊相対論関連（反変ベクトル・共変ベクトル、ミンコウスキー空間の計量、ローレンツ変換、４元ベクトル、電場の強さ））の理解が先決ですが、ここでは、こんな事かくらいに考えて眺めてください。次節以降の内容を理解した後で見返して貰えばよいと思います。

(0)ラグランジアン密度と運動方程式　～変分原理・対称性・不確定性原理～

数式一覧に移る前に、ラグランジアン密度を使って具体的な方程式を導く変分原理と、ラグランジアン密度を構成する原理となっている対称性、ならびに量子化のもととなる不確定性原理を見ておこう。

～何故ラグランジアン密度なのか～

(a)変分原理／オイラー・ラグランジュ方程式、経路積分

ニュートンの運動方程式は、直交座標(x,y,z)で表した場合と、極座標(r,θ,φ)で表した場合では、その形が変わってしまう。どの座標で表しても同じ形の式から導けるように出来れば便利である。この目的のために編み出されたものが、オイラー・ラグランジュ方程式である。従い、次項(b)で述べるような対称性を考える場合には、この形式の方程式は目的に合致している。このことから、標準理論のベースがラグランジアン（その拡張であるラグランジアン密度）となるのである。

①質点の理論における変分原理

一般化座標を q_i (i=1～3N,N=質点数）、運動エネルギーをＴ、ポテンシャルエネルギーをＶとして、次式で定義されるラグランジアンＬを導入する。
　　　　　　　　 $L\equiv T-V$
運動方程式は、次の作用積分 S
　　　　　　　　 $S\equiv \int_{t_1}^{t_2}Ldt=\int_{t_1}^{t_2}L(q_i(t)\:{,{\:\dot{q}_i(t))dt$
において、δq_iに対する変分δS=0、すなわち S が最小値（正確には極値）をとるときとして表される。このことを変分原理（or 最小作用の原理）という。
変分原理を適用すると、運動方程式として、以下のオイラー・ラグランジュ方程式を得る。
　　　　　　　　 $\frac{d}{dt}$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$
これより、具体的なニュートンの運動方程式（３Ｎケの連立方程式）が得られる。


                      ＜参考１＞　オイラー・ラグランジュ方程式の導出

                             δLは、変分の規則 δ(dq/du)=d/du(δq) ならびに　微分公式 (uv)'= u'v + uv' を用いて、
                　　　　　　　　
                　　　　　　　　
                             従い、δSは、始点(t1)・終点(t2)の条件δq_i(t1)=δq_i(t2)=0を考慮して、
                　　　　　　　　
                             これは、恒等的に成り立たねばならないから、{ }=0 すなわち　上記のオイラー・ラグランジュ方程式を得る。

　　　　　　　　　　　＜参考２＞　オイラー・ラグランジュ方程式とニュートンの運動方程式

　　　　　　　　　　　　　  具体的には、例えば、重力 g の下での質量 m の物体１ケの１方向の運動を考えると、位置ｚ＜=q＞、速度ｖ=dz/dt＜=dq/dt＞、
　　　　　　　　　　　　　　p=mv＜=m(dq/dt)＞、T=1/2mv²＜=1/2m(dq/dt)²＞、V=mgz＜=mgq＞ であるから、オイラー・ラグランジュ
　　　　　　　　　　　　　　方程式の各項は、
                　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　  と書け、運動方程式として、ニュートンの方程式が次のように得られる。
                　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　＜参考３＞　ハミルトン形式

                            ハミルトン形式はラグランジュ形式からルジャンドル変換により得られる。(詳しくは解析力学の教科書を参照してください）

　　　　　　　　　　　　　　ラグランジアンＬおよび一般化座標の時間微分dq/dtを用いて、次の２式で定義される一般化運動量（共役運動量ともいう）p
　　　　　　　　　　　　　　並びにハミルトニアンHを導入する。(このq,pを正準変数という。）
                　　　　　　　　           
                　　　　　　　　                                       
　　　　　　　　　　　　　　このように定義されたハミルトニアンを用いると、次に示すハミルトニアンの正準方程式と呼ばれる関係が得られる。
                　　　　　　　　                      
                            L=Σp(dq/dt)-H となるから、以上の関係を用いると、作用積分Sの変分δS=0 となっていることが確認できるであろう。

　　　　　　　　　　　　　　                           
　　　　　　　　　　　　　　これらの関係から、ある物理量 X(q,p,t) の時間微分(すなわち運動方程式）を実行すれば、次のようになる。
               　　　　　　　　                     
　　　　　　　　　　　　　　(X,H)_PBをポアソン括弧という。X を 一般化座標　q または一般化運動量 p とおくと、それらは時間ｔを陽には
                            含まないので∂X/∂t=0 (今は∂q/∂t=0,∂p/∂t=0)である。従い、
　　　　　　　　                                             
                            一般化座標を行列q(q_ij)、一般化運動量を行列p(p_ij)、更に　H(∂H/∂q_ij)と置けば、
               　　　　　　　　                             
                            
　　　　　　　　　　　　　　なお、ハミルトニアンの意味するものは、T=(1/2)mq²のような場合は、H が全エネルギー(H=T+V)であると言うことである。
               　　　　　　　　              
 
　　　　　　　　　　　　　　XをＨと置くと、dH/dt=∂H/∂tとなるから、T=(1/2)mq²となる場合で且つハミルトニアンが陽に時間に依存しない場合は、
　　　　　　　　　　　　　　全エネルギーが保存される。(H=const ie E=const)

                            ハミルトン形式を使うと、座標の取り方によらず運動方程式が成り立ち、対称性のある議論が簡単に行えるので、量子論では
                            これを多用する。

                            また、[a,b]=ab-ba と定義される括弧（交換関係）を使って表される次の関係(演算子として表された正準共役な変数 q,p 同士
　　　　　　　　　　　　　　の交換関係）を正準交換関係という。この量子力学での交換関係は、古典力学のポアソン括弧に相当する。

②場(波動関数）の理論における変分原理

質点系の力学における、離散的で有限個の添え字を連続無限の添え字を含むように拡張すると、ラグランジアン密度＜斜字Ｌ＞(エネルギー密度の次元をもつ）を用いて、ラグランジアンLおよび作用積分Sは、
　　　　　　　　 $L=\int \mathcal Ld^3r$
　　　　　　　　 $S=\int_{t_1}^{t_2}Ldt=\int_{t_1}^{t_2}\mathca Ld^3rdt=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L(\phi_l\:{,}\:\dot{\phi}_l\:{,}\:\nabla \phi_l\:{,}\:t)d^4x$
これから、次のオイラー・ラグランジュ方程式を得る。 $(\dot{\phi}=\partial\phi/\partial t)$
　　　　　　　　 $\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \mathca L}{\partial \dot{\phi}_l}+\nabla\cdot\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\nabla \phi_l)}-\frac{\partial L}{\partial \phi_l}=0$ $\hspace{40mm}\mbox{or}\hspace{40mm}\partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_{\mu}\phi_l)}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi_l}=0$
右に示したものは、標準理論では頻繁に使用される、アインシュタインの和の規則（ex. x_μx^μ=Σ_ix_ixⁱ)を使った表現である。(但し、∂_μ=∂/∂x^μ)
これより、例えば電磁場の運動方程式として、マックスウェル方程式が得られる。


                      ＜参考１＞　弦の振動方程式とオイラー・ラグランジュ方程式の概略

                             弦の横方向変位をφ(x,t)とすると、弦の長さdlは、
                　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 従い、弦の張力,密度をＦ,ρとすると、運動エネルギーＴ、ポテンシャルエネルギーV、ラグランジアンＬは、
                　　　　　　　　               
                             このように定義されたラグランジアン密度Ｌ（斜字）ならびに作用積分Sは、dφ/dx=ψとして、
                　　　　　　　　
                　　　　　　　　
                             δS=0より、弦のオイラー・ラグランジュ方程式が次のように書ける。
                　　　　　　　　

                             以上の１次元の式を３次元に拡張すると、
                　　　　　　　　             
               　　　　　　　 　             
                             これらの式から、δS=0と置くと、上記の場のオイラー・ラグランジュ方程式を得る。


　　　　　　　　　　　＜参考２＞　オイラー・ラグランジュ方程式とマックスウェル方程式

　　　　　　　　　　　　　   詳しくは後述するとして、流れだけでも見ておこう。( [注] 自然単位系採用、計量テンソルη_μν=(1,-1,-1,-1)採用 ）
　　　　　　　　　　　　　　 
                             電磁場(E,B)のラグランジアン密度は、４次元時空のベクトルであるベクトルポテンシャルA_μ,電流密度ベクトルJ^μを用いて、
                　　　　　　　　      
                             と表わせて、作用積分SならびにδSが次のようになる。(η_μν:光速一定４次元時空すなわちﾐﾝｺｳｽｷｰ空間の計量テンソル）
                　　　　　　　　
                　　　　　　　　
                             δS=0であるためには [ ]=0でなければならないので、運動方程式として、マックスウェルの方程式が次のように得られる。
                                            　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 電流密度ベクトルは自然単位系では、Ｊ^κ(ρ,j_x,j_y,j_z)であるから、
                              　　　　

　　　　　　　　　　　　　　 また、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


　　　　　　　　　　　　　　 尚、以下に示すもう２つのマックスウェルの方程式は、定義式 F_μνF^μν=∂_μA^ν－∂_νA^μ より、得られる。

③経路積分

自由粒子（場がない）や電磁場（荷電粒子がない）単独ではにオイラー・ラグランジュ方程式を適用して波動関数を求めるができるが、電磁場中の荷電粒子のように、２つが相互作用する場合は、一般的にオイラー・ラグランジュ方程式を適用して波動関数を求めることは難しい。特に、相互作用する多粒子系を扱う標準理論では、ファインマンの経路積分と呼ばれる手法を用いて直接的に波動関数を求める。（しかしこの方式でも解析的に波動関数を求めることはできず、殆どが数値解析に頼らざるを得ない。）

波動方程式は、次の形の解を有し、作用積分で表される。言い換えれば、作用積分は波動関数の位相に他ならない。( E = H であることに注意）
　　　　　　　　 $\psi=Aexp{\{i2\pi(\frac{x}{\lambda}-\nu t)\}}=Aexp{\{\frac{i(px-Et)}{\bar{h}}\}}=Aexp{\{i\int\frac{(p\dot{x}-E)dt}{\bar{h}}\}}=Aexp{\{\frac{i}{\bar{h}}\int Ldt\}}=Aexp{\{i\frac{S}{\bar{h}}\}}$
従い、一般的な物質波としての波動関数は、次のように言い換えることができる。すなわち、粒子の時刻 t₀ における位置を x₀ 、粒子の時刻 t における位置を x として、 x₀(t₀)とx(t)を結ぶ位置の曲線（経路）について S(t₀,t)を求めて物質波を作り、これを経路について加え合わせると、時刻 t 、位置 x における波動関数が得られる。何故なら、S =∫Ldt が停留値をとるような経路のみ残り、他は干渉してなくなるからである。
　　　　　　　　 $\ps(x,t)=\sum_{path-j}A_j exp{\{ i\int_{t_0}^{t}\frac{L(x,\dot{x})dt}{\bar{h}}\}}$
今、時刻　t_k における波動関数を ψ(t_k)、接近下時刻 t_k+1=t_k+εの波動関数を、 ψ(t_k+1)とする。 x_k(t_k)とx_k+1(t_k+1)を結ぶ経路について作用積分を、
　　　　　　　　 $S(t_{k+1},t_k)=\int_{t_k}^{t_{k+1}}L(\dot{x},x)dt=\epsilon L(\frac{x_{k+1}-x_k}{\epsilon},x_{k+1}\)$
と置くと、
　　　　　　　　 $\psi(x_{k+1},t_{k+1})=\int exp{\{\frac{i\epsilon}{\bar{h}}L$\frac{x_{k+1}-x_k}{\epsilon}),x_{k+1}$\}}\psi(x_k,t_k)\frac{dx_k}{A}$
と表される。（この時間微分を取れば、シュレーディンガー方程式となることが示せる。すなわち、この手法はファインマン流の変分原理といえよう。）

このような表現をとったものをファインマンの経路積分といい、波動関数を次式で表す。
　　　　　　　　 $\psi(x_b,t_b)=\int K(x_b,t_b;x_a,t_a)\psi(x_a,t_b)dx_a$
次の式をファインマンの積分核という。
　　　　　　　　 $\hspace{40mm}K(x_b,t_b;x_a,t_a)=\int\cdots\int e^{iS(\bf x\rm(t))/\bar{h}}\frac{dx_1}{A} \frac{dx_2}{A} \:\cdots\: \frac{dx_{n-1}}{A}\frac{1}{A}$
x_a=x₀、x_b=x_nとして、作用積分は、
　　　　　　　　 $\hspace{40mm}S(\bf x\rm(t))=lim_{\epsilon\rightarrow0}\sum_{k=0}^{n-1}\epsilon L$\frac{x_{k+1}-x_k}{\epsilon},x_{k+1}$=\int_{t_0}^{t}L(\dot{\bf x\rm}(t),\bf x\rm(t),t)dt$
核と作用積分は簡略化して次のようにも表される。
　　　　　　　　 $\hspace{40mm}K(b,a)=\int_a^b\mathfrak D\rm x(t) e^{iS[b,a]/\bar{h}}$
　　　　　　　　 $\hspace{40mm}S(\bf x\rm(t))=S[b,a]=\int_a^bdt L(\dot{x},x,t)$ $\hspace{40mm}\mbox{(cf)}\hspace{20mm}K(b,a)=\int K(b,c) dx_a K(c,a) \hspace{10mm}\mbox{where}\hspace{10mm}(t_a<t_c<t_b)$

(b)対称性（原理）

右図に示すように、正三角形は、座標を１２０°回転しても、おなじ正三角形に見える。これと同じように、見方を変えても物理法則の数式は同じでなければならないとするのが、対称性原理である。

対称性には、３次元空間における並進対称性・回転対称性などの他に、４次元時空（相対性理論）におけるローレンツ対称性、内部空間（場の理論）におけるゲージ対称性・非可換ゲージ対称性・超対称性などなどがある。究極の理論ならば、これらのすべての対称性を満足する筈だとするのが現代物理学である。

物理法則が対称性を有するためには、ラグランジアン密度が対称性を有さねばならない。ラグランジアン密度が対称性を有すれば、その対称性の種類に応じ、運動量保存・角運動量保存・エネルギー保存・電荷保存等々の保存則が成り立つ（ネーターの定理）ことが証明されている。すなわち対称性原理は各種保存則を成り立たせる理論とも言える。

①ローレンツ対称性

もっとも簡単な例から始めよう。今、座標系 K(x,y)があって、ポテンシャルエネルギー φ(x)＜これはスカラー量であり座標変換では不変 ie φ(x)=φ'(x')＞のもと、ｘ方向に一定速度ｖで移動する座標系 K'(x',y')での運動を考える。この２つの座標系での変換は、古典論ではガリレオ変換といわれるもので、
　　　　　　　　 $x'=x-vt$
座標系（x,y)での運動方程式は、
　　　　　　　　 $m(dx/dt)^2=-(d\phi/dx)=F$
ここで、x=x'+vtを代入すると、ｖは一定であるから、dx=dx'となり、
　　　　　　　　 $m(dx'/dt)^2=-(d\phi^'/dx')=F'$
それぞれの座標系での成分を用いれば、どの座標系でも運動方程式は同じ数式で表される。このことを、物理法則が不変であるという。このように、並進するどの座標系でも、物理法則が同じ数式で表されることを並進対称性があるという。

ポテンシャルエネルギーが φ(x,y) である場合すなわち力Ｆが任意の方向を向いている場合は、誰もがよく知っているように、ｘ、ｙの成分に分けて方程式を作るすなわちベクトルr=(x,y)、F=(F_x,F_y)=(-∂φ/∂x,-∂φ/∂y)を用いて、
　　　　　　　　 $m(d^2\bf r\rm/dt^2)=\bf F\rm$
　　　　　　　　 $m\ddot x \\ m\ddot y\)=\(-\partial \phi/\partial x \\ -\partial \phi/\partial y$
と書けば、並進対称性を持つことがいえる。

これらの式が回転対称性を有する（座標回転でも同じ式 d²x/dt²=－∂φ/∂x → d²x'/dt²=－∂φ'/∂x' 等で表される）ことは、座標回転が下右に示す行列Ｕ（Ｕ^t Ｕ=Ｉ ie 直交行列）で表されるので、次の関係式で左からＵ^t を掛ければ、明白であろう。
　　　　　　　　 $\ddot x \\ \ddot y\)=\frac{d^2}{dt^2}$x \\ y$=\frac{d^2}{dt^2}U$x^' \\ y^'$=U\frac{d^2}{dt^2}$x^' \\ y^'$=U$\ddot x' \\ \ddot y'$ $\hspace{100mm}\hspace{50mm}\mbox{where}\hspace{20mm}U=\(\cos\theta \:\: -\sin\theta \\ \sin\theta \:\: \:\:\:\cos\theta$$
　　　　　　　　 $\partial \phi/\partial x \\ \partial \phi/\partial y$ $=$\partial x'/\partial x \:\:\:\:\:\: \partial y'/\partial x \\ \partial x'/\partial y \:\:\:\:\:\: \partial y'/\partial y$ $\partial \phi/\partial x' \\ \partial \phi/\partial y'$$ $=U$\partial \phi'/\partial x' \\ \partial \phi'/\partial y'$$

所で、ベクトルを別の数学的表現で言えば、それは１階テンソル（添え字の数がｎケあるものをｎ階テンソル、スカラー：０階テンソル、ベクトル：１階テンソル、行列：２階テンソル）であり、r^μ=(r¹,r²)=(x,y)、 F_μ=(F₁,F₂)=(F_x,F_y)と表し、
　　　　　　　　 $m(d^2r^{\mu}/dt^2)=F_{\mu} \hspace{40mm}(\mu=1\:{,}\:2)$
と書ける。すなわち、テンソルで表された物理法則は時空における並進対称性・回転対称性を常に満足する。

４次元時空でのローレンツ変換は、以下の＜参考＞に記すようにガリレオ変換と同様に線形変換であるから、以上の説明は４次元時空に拡張して同様のことが言える。すなわち、物理量を相対性原理を満足するテンソル（ベクトルならば４元ベクトル）で表現すれば必然的にローレンツ対称性を満足するといえる。従い、標準理論では、すべてをテンソル形式で論じるので、露わにはローレンツ対称性の議論が出てこない。


                      ＜参考１＞　ローレンツ変換_μν
                             座標x(ct,x,y,y,z)に対しｘ方向に速度ｖで移動する座標x'(ct',x',y',z')は、次の関係式で結ばれる。これをローレンツ変換という。
                　　　　　　　　
　　　　　　　　             これを行列 L（テンソル L^μ_ν）x'= L x(ct,x,y,y,z)で表すと次のようになる。
                             テンソルの添え字の上げ下げは右に示すミンコウスキ計量η_μν=η^μνで行う。
　　　　　　　　　　　　　　  　
　　　　　　　　　              
                             すなわち、det(L)=1 & L^tL=I であり、ガリレオ変換と同様に直交行列Ｕの変換で運動方程式は不変となる。

                      ＜参考１＞　ローレンツ対称性
                             座標系 x_μと座標系 x'_μの関係は、一般的に、次の関係式で結ばれる。
                　　　　　　　　 　   
                             また、これらは、 ｸﾛﾈｯｶﾃﾞﾙﾀδ_μν , ﾐﾝｺｳｽｷｰ計量 η_μν を通じ、次の関係を持ち、ローレンツ変換では、
　　　　　　　　　　　　　　 線形関係にあるから、2階偏微分は０となる。
                　　　　　　　　 　    　   
                             電磁場の強さを表すラグランジアン密度Ｆ_μνF^μν（詳細後述）を例に、以上の関係式を駆使するとローレンツ対称性が
　　　　　　　　　　　　　　 成り立つことを示そう。Ｆ_μνF^μν=2(∂_μA_ν∂^μA^ν－∂_μA_ν∂^νA^μ）であるから、以下が示せれば全体の議論には十分である。

座標変換で不変な物理法則が導かれるためには、対称性を有するラグランジアン密度を構築しなければならない。その数式は複素関数となるため、実関数での直交行列に相当するユニタリー行列（U(1),SU(2),SU(3)等）で表す必要が出てくる。これは群論といわれる数学の分野を理解しなければならないが、ここでは詳細説明を割愛する。

②ゲージ対称性

Maxwell方程式において divB=0 であり、数学公式より恒等的に div・rotA=0 であるから、B=rotAと置ける。また、E も、E=-divφ と置ける。この A をベクトルポテンシャル、φをスカラーポテンシャル（電位）というが、これら A、φ の値には任意性があり、次のような変換を行ってもMaxwell方程式は成立する。

     ＜ゲージ変換＞ 
                  　　　     
　　  4元ベクトル A_μ(－φ/c、A）を導入すると、これら2つの変換は、次のように1つの変換として表すことができる。
　　　(　[注]：ここではη_μν=diag(-1,1,1,1)を用いている。η_μν=diag(1,-1,-1,-1)ならば A_μ(φ/c、－A）となる。）

このようなゲージ変換を行っても、電磁場の強さを表すテンソルＦ_μνの数式（詳細後述）の形は以下に見るように不変である。このことを、ゲージ対称性という。
　　　　　　　　　 $F_{\mu\nu}^{'}\equiv\partial_{\mu}A_{\nu}^{'}-\partial_{\nu}A_{\mu}^{'}=\partial_{\mu}(A_{\nu}+\partial_{\nu}\lambda)-\partial_{\nu}(A_{\mu}+\partial_{\mu}\lambda)$
　　　　　　　　　 $\hspace{35mm}=(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu})+(\partial_{\mu}\partial_{\nu}\lambda-\partial_{\nu}\partial_{\mu}\lambda)=(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu})+ (0)$ $=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}\equiv F_{\mu\nu}$

なお、Maxwell方程式から得られる (△－1/c²∂²/∂t²)φ =－ρ/ε₀ および (△－1/c²∂²/∂t²)A =－μ₀ j に、ゲージ変換後の値を代入して得られる電荷の保存則　divj =－∂ρ/∂t が成立するためには、次の条件が必要となる。この条件を、ローレンツ条件という。
　　　　　　　　　 $\nabla \bf A\rm+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}=0$

(c)不確定性原理／量子化(詳細は後述）

「不確定性原理」とは、位置 x と運動量 p は、同時には決定できず、つぎの関係にあることを言う。(h はﾌﾟﾗﾝｸ定数であり、それを2πで割ったものをディラック定数という）
　　　　　　　　　 $\Delta x\Delta p\geq \frac{1}{2}\bar{h}$ $\hspace{40mm}(\bar{h}=\frac{h}{2\pi})$

「量子化」というのは、「不確定性」を導入するということであり、具体的には「演算子の交換関係」（交換関係の式≠０)を課すことである。

                ＜参考＞ 交換関係・反交換関係
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　・交換関係　　　
　　　　　　　　　　　　　　　・反交換関係　　
                         交換関係にあるとは、ab-ba=0 ie ab=ba のように a と b を交換しても同じ結果を得ることを言う。

電子が波動性を有し原子核に拘束された電子から飛び飛びの波長をもつ光が出る（発光スペクトル）という性質の説明を与える理論的考察において考え出されたものが量子化である。その最初は、ボーアの量子条件(m:質量、r:軌道半径、v:速度）であり、その拡張版のゾンマーフェルトの量子条件(p:一般化運動量、q:一般化座標）である。
　　　　　　　　　 $mrv=nh \hspace{40mm}(n=1,2,\:\:\cdots)$
　　　　　　　　　 $\oint pdq=nh \hspace{40mm}(n=1,2,\:\:\cdots)$
これらを、演算子(ﾊｯﾄを付さないことが多い）の満たすべき条件としたのが、ディラックの量子条件である。下第２式は行列演算子といわれるものである。
　　　　　　　　　 $[\hat{x},\hat{p}]=\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}=i\bar{h}$
　　　　　　　　　 $[\hat{X},\hat{P}]=\hat{X}\hat{P}-\hat{P}\hat{X}=i\bar{h}I$

また、この交換関係は、粒子の生成・消滅演算子（それぞれ a^†,a、または、 b^†,b で、古典力学の解である波動関数の振幅）でも、ボゾンでは交換関係（a^†,a交換関係の式≠０）を、フェルミオンでは、反交換関係（b^†,b反交換関係の式≠０）を課す。上記を単に量子化と言い、ここに言う演算子関係を特に場の量子化（または第２量子化）という。
　　　　　　　　　 $[a^{\dagger},a]\equiv a^{\dagger}a-aa^{\dagger}=i\bar{h}$
　　　　　　　　　 $\{b^{\dagger},b\}\equiv b^{\dagger}b+bb^{\dagger}=i\bar{h}$
こうした量子化を織り込んで理論を構築する。



　　　　　　　　      ＜参考＞　ディラックの量子条件と不確定性関係 ／ 不確定性原理表式の導出　
　　　　　　　　　　　　　不確定性原理は、以下のように、シュワルツの不等式
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　          を用いて導くことができる。すなわち、波動関数ψを用いれば、ある物理量 A の期待値 ＜A＞ は＜A＞ = ∫ψ^*Aψdx 
　　　　　　　　          (但し、∫ψ^*ψdx=1)であるから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　          従い、⊿ｘ、⊿ｐは、α=ｘ－＜ｘ＞、β=ｐ－＜ｐ＞とすると、
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　          更に、f=αψ=(ｘ－＜ｘ＞)ψ、g=βψ(－i(h/2π）∂/∂ｘ－＜ｐ＞)ψと置くと
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　          この３式を上記シュワルツの不等式に代入して、αβ＝(1/2)(αβ－βα)+(1/2)(αβ+βα)考慮すると、
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　          従い、結論として以下の不確定性原理の式を得る。

[Ⅲ]標準理論に至る主要な数式一覧・説明

標準理論を理解するには、数多くの理論的背景を理解しなければなりません。理論すなわち数式を勉強されるにも、どこに向かってどこを話しているのかが分かるように、数式の全体を眺望できるよう基本数式を「表」にまとめてみました。より詳しくは表の前後に記す説明を見ていただくとして、「表」中の基本数式から、標準理論とはなんとなくこんなものかと思ってもらえればいいかなと思います。

(1)非相対論的量子力学～主として電子／シュレーディンガー方程式～

量子力学は、水素原子の離散的な発光スペクトルを説明するために考えられた理論であるが、これには２つの流派があった。一つは無限次元の行列演算子で表されるハイゼンベルグ流の行列力学であり、もう一つは 微分演算子で表されるシュレーディンガー流の波動力学であるが、両者は同じものであり、実際的な計算ではその扱い易さからもっぱら波動力学が用いられる。

行列力学は、発光スペクトルが ν∝(1/n²-1/m²)で表されることから、状態 n と状態 m とによって或る物理量が規定出来るはずだとして、行列要素(m,n)を考えた。このことは、数学的には行列Ａの固有値λが物理量になる（Ax=λx)筈だとするものである。

一方、波動力学は、粒子が波動性を有するものならば、ψ = A cos{(2π/λ)x－2πνt} すなわち ψ = A exp{-i{(2π/λ)x－2πνt}}と表される筈だとして、アインシュタインの式 E=hν、およびド・ブロイの式 λ=p/hを代入して、x,tに関する微分をとると、
　　　　　　　　 $p=-i\frac{h}{2\pi}\frac{\partial}{\partial x}\equiv-i\bar{h}\frac{\partial}{\partial x}$
　　　　　　　　 $E=i\frac{h}{2\pi}\frac{\partial}{\partial t}\equiv i\bar{h}\frac{\partial}{\partial t}$
が得られるので、E=p²/(2m)+Uに代入すれば、シュレーディンガー方程式となり、これを解けば物理量が分かるとしたものである。
すなわち、波動力学では、ハミルトニアンＨにふくまれる運動量ｐ、エネルギーＥを、次のように置き換えることで量子化され、この演算子を波動関数ψに作用させることで運動方程式が得られる。
　　　　　　　　 $p\hspace{20mm}\rightarrow \hspace{20mm}-i\bar{h}\frac{\partial}{\partial x}\hspace{80mm}\bf p\rm\hspace{20mm}\rightarrow \hspace{20mm}-i\bar{h}\bf \nabla\rm$
　　　　　　　　 $E\hspace{20mm}\rightarrow \hspace{20mm}i\bar{h}\frac{\partial}{\partial t}$


        x:位置　p:運動量　m:質量　ψ：波動関数　E:エネルギー　H:ハミルトニアン　U:原子核ポテンシャル　h:プランク定数

	波動力学	行列力学
ハミルトニアン	$\hspace{20mm}\hat{H}(x(t)\:,\:p(t))$	$\hspace{20mm}\bf H\rm(\bf X\rm(t)\:,\:\bf P\rm(t)\:,\:t)$
量子化条件(演算子）ここでは明確化のためハット＾を付したが、一般にはハット＾を付さずに記されることが多い交換関係	$\hspace{20mm}\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\:\: ,\hspace{20mm}\hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\:\: ,\hspace{20mm}\hat{x}=x$ $\hspace{20mm}[\hat{x},\hat{p}]=\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}=i\hbar$	$\hspace{20mm}\bf X\rm=(x_{mn})\hspace{10mm} \bf P\rm=(p_{mn}) \hspace{30mm}\mbox{<m,n\:\:\:{:}\:\:\:1 \rightarrow \infty>$ $\hspace{20mm}\bf X\rm \bf P\rm-\bf P\rm \bf X\rm=i\hbar \bf I\rm$
運動方程式	＜Schroedinger方程式＞　 $\hspace{20mm}i\frac{\partial }{\partial t}\psi=-\frac{1}{2m}\nabla^2\psi+U\psi$ or $\hspace{30mm}\hat{H}\psi=\hat{E}\psi\hspace{50mm}(\hat{H}=-\frac{1}{2m}\nabla^2+U)$ $\hspace{100mm}\hspace{60mm}(E=H=\frac{p^2}{2m}+U)$	＜Heisenberg方程式＞　 $\hspace{20mm}\frac{d\bf X\rm}{dt}=\frac{1}{i\hbar}(\bf X\rm\bf H\rm-\bf H\rm\bf X\rm)$ 　 $\hspace{20mm}\frac{d\bf P\rm}{dt}=\frac{1}{i\hbar}(\bf P\rm\bf H\rm-\bf H\rm\bf P\rm)$ or $\hspace{30mm}H \\| \phi>=E \\| \phi>$
エネルギー（期待値）	$\hspace{20mm}<E>=\int\:\psi^{*}\hat{H}\psi dx$	$\hspace{30mm}\bf E\rm=\bf S\rm\bf H\rm\bf S\rm^{-1}$ (S：ユニタリー行列)＜対角化操作＞
時間発展表現	$\hspace{20mm}\psi=\psi_0 e^{-i(E/\hbar)t}\hspace{10mm}$ < 固有値 $\:\:\: E\:\:\:{:}\:\:\: \hat{H}\psi=E\psi>$
不確定性関係粒子の位置期待値(存在確率）	$\hspace{20mm}\Delta x\Delta p\ge\frac{1}{2}\hbar$ 　　　　　　　　 $\hspace{20mm}<x>=\int\:\psi^{}x\psi dx \hspace{20mm}$ (存在確率 $=\int\:\psi^{}\psi dx)$

これらを使って解ける問題はあまり多くはないが、以下の(a)で、両流儀での調和振動子の解を記すので参考にしてください。
なお、波動力学によるクーロン場での解については以下の(b)または電子雲／シュレーディンガー方程式を参照してください。

           ＜ディラックのブラケット記法＞

                  波動力学と行列力学ならびにその後の理論の説明でも、その見通しの良さから、ディラックが導入したブラケット記法
　　　　　　　　　が多用されるので、極々簡単に紹介しておこう。


　　　　　　　　　量子力学的状態は、ユークリッド空間の拡張であるヒルベルト空間（無限次元複素空間）での規格化された
　　　　　　　　　ベクトルが対応すると考える。このベクトル（量子力学的状態)を、｜φ＞なる記号で表す。これをケット
　　　　　　　　　ベクトルといい、それに対応する共役ベクトルを＜φ｜なる記号で表し、ブラベクトルという。その内積を
　　　　　　　　　＜ψ｜φ＞のように表し、†を転置複素共役、*を複素共役とすると、内積の関係は以下のようになる。
                                　　　　　　　　                  
                  

                  物理量は、状態ベクトル｜φ＞に作用する線形演算子として表され、物理量（オブザーバブル）を A、その
　　　　　　　　　演算子を A ﾊｯﾄ とすると、状態｜φ＞に作用して別の状態｜φ'＞に変わる。
               　　　　　　　　
                  演算子は次の固有方程式を満たし、｜φ_n＞を固有状態（固有ケット）、a_nを固有値という。
               　　　　　　　　
                  任意の物理的な状態｜ψ＞は、演算子Aの固有ケット｜φ_n＞で常に次のように展開できるとする。
               　　　　　　　　
                  ここに、｜φ_n＞は完全正規直交系をなすものとする。すなわち
               　　　　　　　　    　　　　　    　　　　　　　　　

                  系の状態が｜ψ＞で表されるとき、この状態で物理量を測定してa_nという値の得られる確率（遷移振幅確率、
　　　　　　　　　遷移確率）P(a_n)は、次式で表され、Ａの測定を行えばＡの固有値のいずれかが必ず測定されることを保証している。
               　　　　　　　　　　　　　　　　
                  状態が｜ψ＞において、物理量の測定を行ったとき得られる期待値＜A ﾊｯﾄ＞は、次式で与えられる。
               　　　　　　　　　　　　　　　　


　　　　　　　　　＜行列表示＞ 状態｜ψ＞に演算子Aが作用して状態｜φ＞になったとすれば、完備性Σ|φ_n＞＜φ_n｜=1より、
               　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
                               左から＜φ_m|を掛けると、              　　　　　　　　　　　　　　　
                        　　　　　　　　　　 　　　　　　
                               と表せるから、次のように行列形式の固有方程式となる。この時、ケットベクトル|ψ＞=(＜φ_n|ψ＞)は列ベクトルとなる。
　　　　　　　　　　　　　　　 またブラベクトル＜ψ|は（＜ψ|)^†で、行ベクトルとなる。
              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
                               ここで、演算子Ａの固有値がa_n、固有ケットが|φ_n＞であるならば、次式にみるように、行列
　　　　　　　　　　　　　　　 A_mnは対角成分しか持たない。
              　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


                  ＜波動関数表示＞　物理量が位置や運動量のように連続的な場合に拡張します。厳密に説明すると長くなるので
　　　　　　　　　　　　　　　 主要な結論だけを書きます。内積は
                                                              
                               確率は、
                                                              
                               期待値は、
                                                              
                               
　　　　　　　　　　　　　　　 
                               物理量Aが運動量ｐである場合の演算子  は、ディラックの量子条件
                                                              
                               から、 を考慮して、波動関数ψに作用させると、
                                                              
                                                              
                                                              
                                                              
                               このように演算子で表した x,p にディラックの量子化条件（交換関係=i(h/2π）)を課すと、
                               p の演算子が微分演算子 i(h/2π）∂/∂tで表される。
                               逆に、シュレーディンガーの量子化条件すなわち p → i(h/2π）∂/∂t を用いると、必然的に
                               ディラックの量子化条件が導かれる。すなわち、いずれも同じものであり、表現の仕方が異なる
                               だけのことである。

(a)調和振動子の解(シュレーディンガー方程式・ハイゼンベルグ方程式）

　　　調和振動子とは、バネの復元力の如く振動の中心からのずれの２乗に比例した復元力を受ける系のことで、次のハミルトニアンＨで定義される。
                                                   
      この系の解を結論だけ以下に示すが、結果はおなじものを与える。


      (a-1)シュレーディンガー方程式
                    シュレーディンガー方程式は、運動量pを演算子 -i(h/2π)∂/∂x と置き換え、
                                             
                    H=Ｅ すなわち ハミルトニアンH　および　エネルギーＥ（演算子 i(h/2π)∂/∂t）を演算子に置き換えると、
                                             
                    この方程式の解は、
                                                                             
                                             
                    更に、次のような計算をすれば、(a-2)に示した行列x(x_mn)、p(p_mn)をえる。
                                    


      (a-2)ハイゼンベルグ方程式
                   物理量x,pを行列（太字）で表すと、ハミルトンニアンは、（以下演算子のハットは省略する）
                                             
                   これをハイゼンベルグ方程式に代入すると、下左の式が得られる。（下右は、A=p+imωx、B=p-imωxの置き換えをしたもの）
                                                              
　　　　　　　　　　x、pに、交換関係（下左）を課す。（下右は、A=p+imωx、B=p-imωxの置き換えをしたもの）
                            
                    これらから、ハミルトンニアンは、次のように書きかえられる。
                                             

　　　　　　　　　　これらの関係を満足するA、Bは、
                                  
                    もとに戻すと、シュレーディンガー方程式と同じ解をえる。(行列は無限次元である）
                           
                                 

                    
                 

                    x、pは、x、pに交換関係を課して求めたものであるから当然のことであるが、
　　　　　　　　　　実際、上の結果から行列計算をすると、
                           
　　　　　　　　　　となっていることを確認できよう。

                   最低のエネルギーを零点振動というが、これを基準にエネルギーをとると、Hn = n(h/2π)ω
                   となるから、
                           
　　　　　　　　　　のように、ｈνというエネルギーの塊として個数を数えることができる。



      (参考)生成・消滅演算子
                    上記(a-2)のハミルトニアンを因数分解すると、
                                             
                    そこで、次の a、a^†を定義する。それぞれを生成・消滅演算子という。
                                             
                    
                    その意味は、p、xに、(a-2)の解を代入すれば、以下の関係式が得られることから分かるであろう。
　　　　　　　　　　すなわち、a^†、a は、(a-2)のiA、iBに他ならずそのA、Bの行列表示は上に示した通りであるが、両者の積をとると、
                           　　　　　                                    
                           　　　　　　　　　
                    この関係は、Nは状態ｎにある粒子数と解釈され、そのエネルギーＨが粒子数 N=aa^† で表されている。

                    さて、a^†、a に対応する基底ベクトルをφ₀,φ₁,φ₃,・・・、すなわち 
                           　
　　　　　　　　　　とすると、a^†、a の具体的行列を思い起こして行列計算をして、
                           　
                           　
                    のように、a^†は状態ｎに作用してn+1の状態に移り粒子を１ケ生成し、aは状態ｎに作用してn-1の状態に移り粒子を1ケ消滅する。
　　　　　　　　　　一般的に、
                           　
                           　

                    この関係は、(a-1)の波動力学からも導かれるが、量子論の構造的な理解にはここで示した量子力学で見た方が見通しが良いとされる。

(b)クーロン場（原子）の解(シュレーディンガー方程式））

　　　クーロン場とは、U∝1/r で定義される場であるが、原子の場合 U=Ze^2/r (Z:原子番号）であるから、
      ハミルトニアンＨは次のようになる。
                                                   
　　　この解の詳しい説明は、電子雲／シュレーディンガー方程式を参照してください。エネルギーは次の
      ような値をもつ。
                                                                        
      このエネルギー解は、水素原子の離散的な発光スペクトルを説明する。

      
      （なお、このクーロン場にある荷電粒子のエネルギーは、行列力学でも解けるそうであるが、非常に
        複雑であるとのことである。）

(2)相対論的量子力学／量子電気力学（ＱＥＤ）～主として原子の電子／ディラック方程式～

上記シュレーディンガー方程式は、時空対称性すなわちローレンツ変換に従わねばならないという相対論を満足していない。そこで次に提案されたものがディラック方程式と呼ばれる相対論的量子力学である。



　　　　L:ラグランジアン　斜字L：ラグランジアン密度　ψ:波動関数　Ψ:波動関数（スピノール）　U:原子核ポテンシャル　m:質量　q:電荷　r:位置　v:速度
　　　　E：電場　B:磁場　D:電束密度　H:磁束密度　j:電流密度　ρ:電荷密度　A_μ:４元ベクトルポテンシャル　J^μ:４元電流密度　　F_μν：電磁場の強さ

自然単位系	自由粒子	電磁場(式の表現は異なるが内容は同じ）	全系（自由粒子と電磁場の相互作用）
古典物理	$\hspace{20mm}L=\frac{1}{2}m\bf v\rm^2-U \hspace{20mm}H=\frac{1}{2}m\bf v\rm^2+U$ $\hspace{80mm}\Downarrow$ ＜Newton方程式＞ $\hspace{40mm}m\frac{d\bf v\rm}{dt}=\bf F\rm=-gradU$	＜Maxwell方程式＞ $\hspace{40mm}\mathrm{rot}\bf E\rm+\partial \bf B\rm/\partial{t}=0$ 　　　　　　　　　 $\hspace{40mm}\mathrm{rot}\bf H\rm-\partial \bf D\rm/\partial{t}=\bf j\rm$ 　　　　　　　　　 $\hspace{40mm}\mathrm{div}\bf D\rm=\rho\hspace{100mm}$ 　　　　　　　　　 $\hspace{40mm}\mathrm{div}\bf B\rm=0\hspace{100mm}$	$\hspace{20mm}L=\frac{1}{2}m\bf v\rm^2-q\phi +q\bf v\rm\bf A\rm$ $\hspace{80mm}\Downarrow$ ＜Lorentz力＞ $\hspace{40mm}m\frac{d\bf v\rm}{dt}=\bf F\rm=q(\bf E\rm+\bf v\rm\times\bf B\rm)$
非相対論場＜E=p²/(2m)を量子化＞	$\mathcal{L}=$ (略）＜ローレンツ対称性不満足＞ $H=\frac{1}{2m}\bf p\rm^2+U \hspace{20mm}(\bf p\rm=m\bf v\rm)$ $\hspace{80mm}\Downarrow$ ＜Schroedinger方程式＞（量子） $\hspace{40mm}i\frac{\partial }{\partial t}\psi=-\frac{1}{2m}\:\:\nabla^2\psi+U\psi$	$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-J^{\mu}A_{\mu}\hspace{20mm}$ $\hspace{80mm}\Downarrow$ ＜Maxwell方程式＞ $\hspace{40mm}(\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\nabla^2) A_{\mu}=-J^{\mu}$	$H=\frac{1}{2m}(\bf p\rm-q\bf A\rm)^2+q\phi \hspace{20mm}(\bf p\rm=m\bf v\rm+q\bf A\rm)$ $\hspace{80mm}\Downarrow$ ＜Schroedinger方程式＞ $\hspace{40mm}i\frac{\partial }{\partial t}\psi=\{-\frac{(\nabla-iq\bf A\rm)^2}{2m}+q\phi\}\psi$
ディラック場＜Lorenz対称性(E²=c²p²+m²c⁴)を量子化＞	$\mathcal{L}=\bar{\psi}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-\bar{\psi} m\psi \hspace{20mm}(U=0)$ $\hspace{100mm}\hspace{80mm}(\bar{\psi}=\psi^{\dagger}\gamma^0)$ $\hspace{80mm}\Downarrow$ ＜Dirac方程式＞（ｽﾋﾟﾝ､磁性） $\hspace{40mm}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi=0$	$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\hspace{20mm}(J^{\mu}=0)$ $\hspace{80mm}\Downarrow$ ＜Maxwell方程式＞ $\hspace{40mm}\partial_{\mu}\partial^{\mu} A_{\mu}=0$	$\mathcal{L}=\bar{\psi}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-\bar{\psi} m\psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ $\hspace{40mm}-q\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi\hspace{80mm}(J^{\mu}=0)$ $\hspace{80mm}\Downarrow$ ＜Dirac方程式＞（ｽﾋﾟﾝ､磁性） $\hspace{40mm}\{(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)-q\gamma^{\mu}A_{\mu}\}\psi=0$

①自由粒子のディラック方程式

相対論に従えば、粒子の持つエネルギーＥは次のようになる。
　　　　　　　　 $E^2=c^2p^2+m^2c^4$
シュレーディンガー方程式は、非相対論的エネルギーE=1/2mv²（ie H=p²/(2m))をベースとしおり、ハミルトニアンHは運動量pの２次式となっている。従い、それより導かれるシュレーディンガー方程式は上に見たように時間の１階微分と位置の２階微分で表され、時間と空間は同じもの（時空対称性）であるべきことに反している。そこで、ディラックは、対応するハミルトニアンＨは、次のように、運動量pの１次式で表されなければならないとした。
　　　　　　　　 $\bf H\rm=c\bf \alpha \rm\bf p\rm+\bf \beta\rm mc^2$ $\hspace{40mm}\mbox{where}\hspace{20mm}\alpha_i^2=\beta^2=I\hspace{10mm}(i=1,2,3=x,y,z)$
$\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{40mm}\hspace{100mm}[\alpha_i,\alpha_j]_{+}\equiv\alpha_x\alpha_y+\alpha_y\alpha_x=\:\:\cdots\:\:=0\hspace{10mm}(i \neq j)$
$\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{40mm}\hspace{100mm}[\alpha_i,\beta]_{+}\equiv\alpha_x\beta+\beta\alpha_x=\:\:\cdots\:\:=0$
この関係を満足するα_i、βを用いれば、上表に示す自由粒子のディラック方程式（自然単位系）が得られる。すなわち、
　　　　　　　　 $(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi=0 \hspace{20mm}(\mu=0 \sim 3)$
更に、この方程式を導くラグランジアン密度は、実数のスカラーでなければならない（ x が複素数ならば、共役複素数 x^* を用い、x^*x＝実数、a が列ベクトルならは、その転置の行ベクトル a^t を用い、a^ta はスカラーとなる）から、次のように表すことができる。
　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi \hspace{20mm}(\mu=0 \sim 3) \hspace{20mm}(\bar{\psi}=\psi^{\dagger}\gamma^0)$
但し、ψ^†は、複素共役の転置を意味する。アインシュタインの和の規約・微分∂_μ等は、この下に記す＜参考＞「特殊相対論関連およびγ行列」(後述）を参考にしてください。

                                 ＜参考＞　ラグランジアン密度から運動方程式が得られることの確認

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ラグランジアン密度が、以下の通りであるとする。()
                 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ψとψ^†は、独立として扱え、ψ^†で微分すると、オイラー・ラグラジュ方程式は、
                 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
                 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
                                           左からγ⁰ をかけると、を考慮して、

これをもとに構築されたディラック方程式は、１成分の波動関数ψではなく、４つの成分を持つ波動関数Ψ（これをスピノールと言う）で表される（簡単のためψで示すが４成分であることはいつも認識すべきである）。このように４成分からなることより、スピンの存在を示し、且つ反粒子の存在を予言した。このことは、対称性の重要性を示しており、これ以降対称性の徹底的な追求によって標準理論およびその後の理論につながってゆくのである。

②電磁場と相互作用する粒子(電子）のディラック方程式

上表の全系（自由粒子と電磁場の相互作用）のラグランジアンは、ローレンツ力 F = q（ E + v×B ) を導出できるものとして、次のラグランジアンＬを考える。
　　　　　　　　 $L=(1/2)m\bf \dot{x}\rm^2-q\phi+ q\bf \dot{x}\rm\cdot\bf A\rm$


                ＜参考１＞ローレンツ力 F = e（ E + v×B ) の導出

　　　　　　　　　　　　　　ラグランジアンを、
                　　　　　　　　　　　  
　　　　　　　　　　　　　　とおくと、ベクトル公式 
                　　　　　　　　　　　  
                            を用いて、x と dx/dt は独立であることより、
                　　　　　　　　　　　    
                            所で、dA/dｔは、
                　　　　　　　　　　　
                            これらから、オイラー・ラグランジュ方程式を求めると、
                　　　　　　　　　　　
                　　　　　　　　　　　        
                　　　　　　　　　　　        
                            第２・第３式を第１式に代入して、E=－▽φ-∂A/∂t、B=rotA=▽×Aを考慮すると、

ハミルトン形式のところで説明したように、一般化運動量 p は p_i =∂L/∂(dq_i/dt) であるから、∂x/∂tは下右のようになる。
　　　　　　　　 $\bf p\rm=(\partial L/\partial \dot{x}^i)=m\bf \dot{x}\rm+q\bf A\rm$ $\hspace{20mm}{ie}\hspace{20mm}\bf \dot{x}\rm=(\bf p\rm-q\bf A\rm)/m$
この一般化運動量pを用いれば、ハミルトニアン H は、(H=Σp_i(dq/dt)_i-L)
　　　　　　　　 $H=\bf p\rm\cdot\bf \dot{x}\rm-L=\bf p\rm\cdot\bf \dot{x}\rm-(1/2)m\bf \dot{x}\rm^2+q\phi- q\bf \dot{x}\rm\cdot\bf A\rm=(\bf p\rm-q\bf A\rm)\bf\dot{x}\rm-(1/2)m\bf \dot{x}\rm^2+q\phi$ $=(1/2m)(\bf p\rm-q\bf A\rm)^2+q\phi$
このように、自由粒子のハミルトニアンから全系のハミルトニアンを得るには、置き換え p → p－eA を行えばよい。すなわち、

　　　　　　　　 $H=(1/2m)\bf p \rm^2+q\phi$ $\hspace{40mm}\rightarrow\hspace{40mm}H=(1/2m)(\bf p \rm-q\bf A\rm)^2+q\phi$

以上は古典論での全系のハミルトニアンであるが、相対論での全系のハミルトニアンは、ディラックの自由粒子のハミルトニアンから同じ置き換えを行なうことで得られる。すなわち、
　　　　　　　　 $\bf H\rm=c\bf \alpha \rm\bf p\rm+\bf \beta\rm mc^2$ $\hspace{40mm}\rightarrow\hspace{40mm}\bf H\rm=c\bf \alpha \rm(\bf p\rm-e\bf A\rm)+\bf \beta\rm mc^2$
この関係を量子化し、アインシュタインの和の規約を用いて表すと、電磁場と相互作用する粒子のディラック方程式（自然単位系）として次の式が得られる。
　　　　　　　　 $\{(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)-q\gamma^{\mu}A_{\mu}\}\psi=0 \hspace{20mm}(\mu=0 \sim 3)$
この方程式を導くラグランジアン密度は、前述と同様に、
　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\bar{\psi}\{(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)-q\gamma^{\mu}A_{\mu}\}\psi \hspace{20mm}(\mu=0 \sim 3) \hspace{20mm} (\bar{\psi}=\psi^{\dagger}\gamma^0)$
ここに、A_μ は、４元ポテンシャルベクトル（後述＜参考＞「特殊相対論関連」参照のこと）である。

＜ディラック方程式導出詳細＞（式の簡潔化のため、自然単位系(c=1,h/2π=1)で説明する）　　　　　　　　　　　　　　相対論では、E² = p²+m² であるから、これを量子化(E=i∂/∂t,p=-i▽)すると、　　　　　　　　　　　 $(i\frac{\partial}{\partial t})^2\psi=\{(-i\nabla)^2+m^2\}\phi$ 　　　　　　　　　　　　　書き換えると、　　　　　　　　　　　 $\{-\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\nabla^2-m^2\}\phi=0$ ミンコウスキー空間の計量η_μν＝diag(1,-1,-1,-1)・アインシュタインの和の規約を用いて、更に書き換えると、　　　　　　　　　　　 $-\partial_{\mu}\partial^{\mu}\phi-m^2\phi=0$ $\hspace{40mm}(cf)\hspace{20mm}\partial_{\mu}\partial^{\mu}=\partial_{\mu}\eta^{\mu\nu}\partial_{\nu}=(\partial_0)^2-\sum_i(\partia_i)^2=\partial^2/\partial t^2-\nabla^2$ これを、クライン・ゴルドン方程式といい、質量ｍを持つスカラー粒子(その場がφ）相対論的運動を記述する。　　　　　　　　　　　　　　後の参考のため、この方程式を与えるラグランジアン密度を書いておこう。　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-m^2\phi^2)=\frac{1}{2}\{(\partial_{\mu}\phi)^2-m^2\phi^2\}$ $\hspace{20mm}$=\frac{1}{2}\{(\frac{\partial\phi}{\partial t})^2-(\frac{\partial\phi}{\partial x})^2-(\frac{\partial\phi}{\partial y})^2-(\frac{\partial\phi}{\partial z})^2-m^2\phi^2\}$$ クライン・ゴルドン方程式を導くラグランジアン密度がこれでよいことは、オイラーラグランジュ方程式と計量テンソル $\partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi}=0 \hspace{20mm}{,}\hspace{20mm}\partial^{\mu}=\eta^{\mu\nu}\partial_{\nu}$ 　　　　　　　　　　　　　　を用いれば確認できる。 <**> 慣れていない方のために丁寧に書いておこう。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ラグランジアン密度の1/2を一先ず省いて、∂_μ とφは独立であるので、∂_μ の関数部分のみ考えると、　　　　　　　　　　 $\partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}(\equiv \partial_0\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_0\phi)}$ $+\partial_1\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_1\phi)}+\partial_2\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_2\phi)}+\partial_3\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_3\phi)})$ 　　　　　　　　　　 $\hspace{70mm}=\partial_{\mu}\frac{\partial \{\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi\}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}$ $=\partial_{\mu}\frac{\partial \{\partial_{\mu}\phi(\eta^{\mu\nu}\partial_{\nu}\phi)\}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}$ 　　　　　　　　　　 $\hspace{70mm}=\partial_{\mu}(\eta^{\mu\nu}\partial_{\nu}\phi)+\eta^{\mu\nu}\partial_{\nu}(\partial_{\mu}\phi)\}}$ $=\partial_{\mu}(\partial^{\mu}\phi)+\partial^{\mu}(\partial_{\mu}\phi)\}}=2\partial_{\mu}\partial^{\mu}\phi$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　また、φの関数部分のみ考えると、　　　　　　　　　　 $\frac{\partial \mathcal L}{\partial \phi}=\frac{\partial (m^2\phi^2)}{\partial \phi}=2m^2\phi$ この２つの差を取れば、クライン・ゴルドン方程式となる。さて、Ｈ=E=α・p+βm と表せるとすれば、これを量子化（Ｅ→i∂/∂t、ｐ→-i▽）して、　　　　　　　　　　　 $(i\frac{\partial}{\partial t}+i\bf \alpha\rm\cdot\nabla-\beta m)\psi=0$ この方程式が、質量ｍの自由粒子を記述するものならば、その解は、クライン・ゴルドン方程式も満足するはずである。　　　　　　　　　　　　　　そこで、この式の左からこの式の（）で表される演算子を掛けると、　　　　　　　　　　　 $\{-\partial^2/\partial t^2+\sum_i\alpha_i^2\partial_i\partial_i+\sum_{i<j}(\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i)\partial_i\partial_j+im\sum_i(\alpha_i\beta+\beta\alpha_i)\partial_i-\beta^2m^2\}\psi=0$ クライン・ゴルドン方程式と比較すると、α_i、βは次の関係を満足しなければならないことが分かる。　　　　　　　　　　　 $\alpha_i^2=\beta^2=I\hspace{10mm}(i=1,2,3=x,y,z)$ $[\alpha_i,\alpha_j]_{+}\equiv\alpha_x\alpha_y+\alpha_y\alpha_x=\:\:\cdots\:\:=0\hspace{10mm}(i \neq j)$ 　 $[\alpha_i,\beta]_{+}\equiv\alpha_x\beta+\beta\alpha_x=\:\:\cdots\:\:=0$ 　　　　　　　　　　　　　　ここに示したα_i、βは、任意性があり、ここではβを対角行列とする４×４行列を選んでみると、パウリ行列(後述）を用いて、　　　　　　　　　　　 $\alpha_i=\left( 0 \hspace{30mm} \sigma^i \\ \sigma^i \hspace{10mm} 0\right) \hspace{20mm}\beta=\left(\sigma^0 \hspace{30mm} 0 \\0 \hspace{30mm} -\sigma^0 \right)\equiv\gamma^0$ $\hspace{20mm}\rightarrow\hspace{20mm}\beta\alpha_i=\left( 0 \hspace{30mm} \sigma^i \\ -\sigma^i \hspace{10mm} 0\right)\equiv\gamma^i$ $\hspace{20mm}\beta\beta=\left(\sigma^0 \hspace{30mm} 0 \\0 \hspace{30mm} \sigma^0 \right)=I$ 　　　　　　　　　　　　　　であればよい。Ｈ=E=α・p+βm を量子化した元の式の左からβを掛けて整理すると、　　　　　　　　　　 $(i\beta\frac{\partial}{\partial t}+i\beta\bf \alpha\rm\cdot\nabla-\beta\beta m)\psi=0$ 　　　　　すなわち、　　　　 $\{i\gamma^0\frac{\partial}{\partial t}+\gamma^1\frac{\partial}{\partial x}+\gamma^2\frac{\partial}{\partial y}+\gamma^3\frac{\partial}{\partial z}]-m\}\psi=0$ 　　　　　　　　　　　　　　この式をアインシュタインの和の規約を用いて表すと、以下に示す自由粒子のディラック方程式が得られる。　　　　　　　　　　 $(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi=0 \hspace{20mm}(\mu=0 \sim 3)$ 　

電磁場と相互作用する粒子については、上で説明したように、ロレンツ力を表すには、p→p－qAの置き換えでよいが、　　　　　　　　　　　　　　４元ベクトルである一般化運動量 p^μについて、以下のように置き換えればよい。　　　　　　　　　　 $p^{\mu}\:\:\rightarrow\:\:p^{\mu}-qA^{\mu} \hspace{20mm}{ie}\hspace{20mm}$ $[p^{\mu}=(E,\bf p\rm)\hspace{10mm}{,}\hspace{10mm}A^{\mu}=(\phi,\bf A\rm)]\hspace{20mm}E\:\:\rightarrow\:\:E-q\phi\:\:{,}\:\:\bf p\rm\:\:\rightarrow\:\:\bf p\rm-q\bf A\rm$ この置き換えは、量子化(p^μ→i∂^μ）して、次のように置き換えればよい。　　　　　　　　　　 $i\partial^{\mu}\:\:\rightarrow\:\:i\partial^{\mu}-qA^{\mu} \hspace{80mm}{or}\hspace{40mm}i\partial_{\mu}\:\:\rightarrow\:\:i\partial_{\mu}-qA_{\mu}$ 　　　　　　　　　　　　　　従い、電磁場と相互作用する粒子のディラックの方程式は、自由粒子のそれに、この置き換えをすれば得られる。　　　　　　　　　　 $\{\gamma^{\mu}(i\partial_{\mu}-qA_{\mu})-m\}=0 \hspace{40mm}{or}\hspace{20mm}\{i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m\}-q\gamma^{\mu}A_{\mu}=0$ なお、相対論での置き換え i∂_μ → i∂_μ－q A_μ は、両辺に i を掛けて、次のようにも書ける。　　　　　　　　　　 $\partial_{\mu}\:\:\rightarrow\:\:\partial_{\mu}+iqA_{\mu}$ すなわち、相互作用への置き換えは、ゲージ理論で出てくる共変微分への置き換え(∂_μ → D_μ=∂_μ + iq A_μ)と同じものであることに留意すべきである。

およびγ行列（ディラック表現、カイラル表現）

★ 反変ベクトル（x^μ等）・共変ベクトル（x_μ等）およびアインシュタインの和の規約等の詳細は、[一般相対性理論基本]を参照してください。極く簡単に紹介すると、ミンコウスキー空間の計量η_μνにより、反変・共変は変換可能で、内積は反変・共変のベクトル積で表される。　　　　　　　　　　 $x_{\mu}=\eta_{\mu\nu}x^{\nu} \hspace{40mm}x_{\mu}x^{\mu}=\sum_{i=0}^3 x_ix^i \hspace{40mm}x_{\mu}x^{\mu}=x^{\mu}x_{\mu} \hspace{40mm}{etc}$
＜注＞ミンコウスキー空間の計量η_μν
一般相対性理論を初めとする宇宙論と、素粒子標準理論では、ミンコウスキー空間の計量η_μνの扱いが異なるので注意が必要である。本サイトでも混用しているので注意してみてください。一般的には、次のような扱いが多い。
　　　　　　　　　　 $\eta_{\mu\nu}=diag(-1,1,1,1) \hspace{40mm}x_{\mu}x^{\mu}=x_{\mu}\eta^{\mu\nu}x_{\nu}=\eta^{\mu\nu}x_{\mu}x_{\nu}$ $=-(ct^2)+x^2+y^2+z^2 \hspace{10mm}\mbox{for\:\: general\:\: relativity}$ 　　　　　　　　　　 $\eta_{\mu\nu}=diag(1,-1,-1,-1) \hspace{40mm}x_{\mu}x^{\mu}=x_{\mu}\eta^{\mu\nu}x_{\nu}=\eta^{\mu\nu}x_{\mu}x_{\nu}$ $=(ct^2)-x^2-y^2-z^2 \hspace{10mm}\mbox{for\:\: elementary\:\:particles}$ ★ 特殊相対性理論を簡単に言うと、観測者のいる慣性系の４次元時空 x(x^μ)=（ct,x,y,z)^tと、x方向にｖで動く慣性系の４次元時空　x'(x'^μ)=（ct',x',y',z')^t とは、以下のローレンツ変換 L(L^μ_ν)により、x' = L x (or x'^μ = L^μ_νx^ν)なる関係にあり、　　　　　　　　　 $(L^{\mu}_{\:\:\:\:\:\:\nu})=\left(\gamma \hspace{25mm} -\beta\gamma \hspace{15mm} 0 \hspace{15mm} 0 \\ -\beta\gamma \hspace{20mm}\gamma \hspace{20mm} 0 \hspace{15mm} 0 \right)$ $\hspace{80mm}\mbox{where}\hspace{40mm}\gamma=1/\sqr{1-(v/c)^2}\hspace{40mm}\beta=v/c}}$ 　　　　　　　　　 $\hspace{60mm}\left( 0 \hspace{50mm} 0 \hspace{20mm} 1 \hspace{20mm} 0 \\ 0 \hspace{50mm} 0 \hspace{20mm} 0 \hspace{20mm} 1 \right)$ 且つ、ｖで動く慣性系での時間すなわち固有時間τ、並びにエネルギーE(運動量 p)が、光速ｃに対し次の関係にあることである。　　　　　　　　　　 $d\tau=dt\sqrt{1-(v/c)^2}\equiv dt/\gamma$ 　　　　　　　　　　 $p^{\mu}=c (mdx^{\mu}/d\tau)\hspace{20mm} {,} \hspace{10mm} p_{\mu}p^{\mu}=-m^2c^2 \hspace{10mm} {,} \hspace{10mm} \bf p\rm^2=\sum_{i=1}^3 p_ip^i=p_{\mu}p^{\mu}-p_0p^0=-m^2c^2+(p^0)^2$ $\hspace{10mm} {,} \hspace{10mm} p^0=\sqrt{(\bf p\rm)^2+m^2c^2}$ 　　　　　　　　　　 $E=cp^0=c (mdx^0/d\tau)=mc\{d(ct)/d\tau\}=mc^2/\sqrt{1-(v/c)^2)}\hspace{20mm}(\simeq mc^2+(1/2)mv^2)$ 　　　　　　　　　　 $\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{110mm}=\sqrt{(mc^2)^2+\bf p\rm^2c^2}$ ★以下に、４元ベクトル（４次元空間でのベクトル）・電磁場の強さならびにカイラル行列を示す。＜注＞自然単位系・へヴィサイド・ローレンツ単位系とミンコウスキー空間の計量η_μν
以下の４元ベクトルは、η_μν = (-1,1,1,1) 並びに MKSA単位系を用いて表している。　　　　　　　自然単位（c=1,h/2π=1)およびへヴィサイド・ローレンツ単位系（ε₀=1,μ₀=1)で表わせば、c,、h/2π、ε₀、μ₀が式には現れてこない　　　　　　　ことに留意してください。上表は自然単位で表しているように、本サイトでも処々で混用しているので注意してみてください。　　４元ベクトル (　[注] ：上付／下付きの変換は、η_μνの定義により変わる。） ( ここではη_μν = (-1,1,1,1)を用いているので、例えば、A_μ = η_μνA^ν = (-φ/c,A)となる） ( あるいはη_μν = (1,-1,-1,-1)を用いれば、　　例えば、A_μ = η_μνA^ν = (φ/c,－A)となる）
　　　　　＜位置ベクトル＞ x=Σ_i=1³ xⁱe_i 　　　　　　　　　　　　　 $x^{\mu}=(x^0\:,\:x^1\:,\:x^2,x^3)=(ct\:,\:x\:,\:y\:,\:z)=(ct\:,\:\bf x\rm)$ 　＜微分ベクトル＞ ▽=Σ_i=1³ Σe_i∂/∂_i 　　　　　　　　　　　　　 $\partial_{\mu}=(\partial_0\:,\:\partial_1\:,\:\partial_2\:,\:\partial_3)=(\frac{\partial}{c\partial t}\:,\:\frac{\partial}{\partial x}\:,\:\frac{\partial}{\partial y}\:,\:\frac{\partial}{\partial z})$ $=(\frac{\partial}{c \partial t}\:,\:\nabla)\hspace{40mm}(\partial_{\mu}\equiv \partial/\partial x^{\mu})$ 　＜速度ベクトル＞ v=Σ_i=1³ vⁱe_i=Σ_i=1³ (dxⁱ/dt)e_i 　　　　　　　　　　　　　 $w^{\mu}=(w^0\:,\:w^1\:,\:w^2,w^3)=(\gamma c\:,\:\gamma v_x\:,\:\gamma v_y\:,\:\gamma v_z)=(\gamma c\:,\:\gamma \bf v\rm)\hspace{40mm}(w^{\mu}\equiv \partial x^{\mu}/\partial \tau)$ 　＜一般化運動量ベクトル＞ p=Σ_i=1³ pⁱe_i 　　　　　　　　　　　　　 $p^{\mu}=(p^0\:,\:p^1\:,\:p^2\:,\:p^3)=(E/c\:,\:p_x\:,\:p_y\:,\:p_z)=(E/c\:,\:\bf p\rm)\hspace{40mm}(p^{\mu}=mw^{\mu}\equiv m\partial x^{\mu}/\partial \tau)$ 　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{100mm}\hspace{50mm}=\gamma(mc\:,\:mv_x\:,\:mv_y\:,\:mv_z)=\gamma m(c\:,\:v_x\:,\:v_y\:,\:v_z)\hspace{40mm}(v_x\equiv \partial x/\partial t)$ 　＜ポテンシャルベクトル＞ A=Σ_i=1³ Aⁱe_i 　　　　　　　　　　　　　 $A^{\mu}=(A^0\:,\:A^1\:,\:A^2\:,\:A^3)=(\phi/c\:,\:A_x\:,\:A_y\:,\:A_z)=(\phi/c\:,\:\bf A\rm)$ 　　　　　　　　　　　　　 $\bf B\rm=\mathcal{rot}\bf A\rm \hspace{40mm}\bf E\rm=-(\nabla \phi + \partial \bf A\rm/\partial t)$ 　＜電流密度ベクトル＞ j=Σ_i=1³ jⁱe_i 　　　　　　　　　　　　　 $J^{\mu}=(J^0\:,\:J^1\:,\:J^2\:,\:J^3)=(\rho c\:,\:j_x\:,\:j_y\:,\:j_z)=(\rho c\:,\:\bf j\rm)$ 　　電磁場の強さ　F_μν　および　エネルギー密度 F_μνF^μν の具体的表現( η_μν ：ﾐﾝｺｳｽｷｰ空間の計量テンソル、 E ：電場、 B ：磁場） $F_{\mu\nu}=\frac{1}{\sqrt{\mu_0}}(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu})$ $\hspace{80mm}\{\:\:\:\: F^{\mu\nu}=\eta^{\nu\sigma}F^{\mu}_{\:\:\:\:\:\:\sigma}\hspace{20mm}F^{\mu}_{\:\:\:\:\:\:\nu}=\eta^{\mu\sigma}F_{\sigma\nu}$ $\hspace{20mm}F_{\mu}^{\:\:\:\:\:\:\nu}=\eta_{\mu\sigma}F^{\sigma\nu}\:\:\:\: \}$ 　　　　ここで、　　　　 $\partial_0A_i-\partial_iA_0=\frac{\partial A_i}{c\partial t}-\frac{\partial A_0}{\partial x^i}=\frac{1}{c}\frac{\partial A_i}{\partial t}-\frac{\partial(-\phi/c)}{\partial x^i}$ $=\frac{1}{c}(\nabla\phi+\frac{\partial\bf A\rm}{\partial t})_i=-\frac{1}{c}E_i$ 　　　　 $\partial_iA_j-\partial_jA_i=\frac{\partial A_j}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial x^j}=\sum_{k=1}^3\:\:\epsilon_{i,j,k}B^k} \hspace{20mm}\epsilon_{ijk}\:\:{:}\:\:Levi-Civita\:Symbol$ 　　　　を考慮すると、以下の行列がえられる。

F_μνF^μν は、行列の積 G=(F_μν)(F^μν) とすると F_μνF^μν＝trG であるが、以下のテンソル計算からも、エネルギー密度の次元を　　　　　持つことが分かるであろう。
　　 $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=F_{00}F^{00}+F_{01}F^{01}+F_{02}F^{02}+F_{03}F^{03}+F_{10}F^{10}+F_{11}F^{11}+\cdots\:\:\cdots +F_{33}F^{33}$ 　 $\hspace{60mm}=2\frac{\bf E\rm^2}{c^2}-2\bf B\rm^2=4\mu_0(\frac{1}{2}\epsilon_0\bf E\rm^2 -\frac{1}{2\mu_0}\bf B\rm^2)=4\mu_0(\frac{1}{2}\bf E\rm\cdot\bf D\rm-\frac{1}{2}\bf B\rm\cdot\bf H\rm)$
[注] ： F^μν＝∂^μA^ν-∂^νA^μ と定義することもあるが、この定義の下η_μν = (1,-1,-1,-1)で変換されたものを (F¹)_μν、　　　　　　　　　上の定義 F_μν＝∂_μA_ν-∂_νA_μの下η_μν = (-1,1,1,1)で変換されるものを (F²)_μν とすると、(F¹)_μν＝－(F²)_μν の関係にある。　　　　　　　　　また、(F¹)^μν＝－(F²)^μνでもある。従い、後に出てくる電磁場のラグランジアン密度に現れる F_μνF^μν は、いずれの定義でも内容は同じである。すなわち、(F¹)_μν(F¹)^μν＝(F²)_μν(F²)^μν　　　カイラル表現　γ^μ（μ=0～3,k=1～3) (γ^μは４行４列の行列である。以下にはブロック単位の行列で表している。） $\gamma^0=\left(0 \hspace{20mm} \sigma^0 \\ \sigma^0 \hspace{20mm} 0 \right) \hspace{30mm}\gamma^k=\left(0 \hspace{30mm} \sigma^k \\ -\sigma^k \hspace{10mm} 0 \right)$ $\hspace{80mm}$\:\:\gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3=\left(-\sigma^0 \hspace{20mm} 0 \\ \hspace{10mm}0 \hspace{30mm} \sigma^0 \right)\:\:$$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　但し、σは、パウリ行列であって、　　　　　　　　　 $\sigma^0=\left(1 \hspace{30mm} 0 \\ 0 \hspace{30mm} 1 \right)\hspace{30mm}\sigma^1=\left(0 \hspace{30mm} 1 \\ 1 \hspace{30mm} 0 \right)$ $\hspace{20mm}\sigma^2=\left(0 \hspace{20mm} -i \\ i \hspace{30mm} 0 \right)\hspace{20mm}\sigma^3=\left(1 \hspace{30mm} 0 \\ 0 \hspace{20mm} -1 \right)$
それらの間には、実際計算してみれば分かるように、次の関係がある。　　　　　 $(\sigma^k)^2=I {,}\hspace{5mm}\sigma^k\sigma^0=\sigma^0\sigma^k=\sigma^k {,}\hspace{5mm}[\sigma^k,\sigma^l]=\sigma^k\sigma^l-\sigma^l\sigma^k=i\epsilon_{klm}\sigma^m{,}$ $\hspace{5mm}(\bf \sigma\rm\cdot\bf P\rm)\cdot(\bf \sigma\rm\cdot\bf Q\rm)=\bf P\rm\cdot\bf Q\rm+i\bf\sigma\rm\cdot(\bf P\rm\times\bf Q\rm)$
　　　　　　この表現では、　　 $\alpha_k=\left(-\sigma^k \hspace{10mm} 0 \\ 0 \hspace{30mm} \sigma^k \right) \hspace{30mm}\beta=\left(0 \hspace{30mm} \sigma^0 \\ \sigma^0 \hspace{30mm} 0 \right)$ $\hspace{100mm}(\alpha_k)^2=(\beta)^2=I {,}\hspace{10mm}\alpha^k\beta+\beta\alpha^k=0$ 　　　　　　　＜参考＞自由電子のDirac方程式の具体的な方程式は、４つの成分を持つ波動関数Ψ(Ψ₁,Ψ₂,Ψ₃,Ψ₄)についての、以下のような４元連立方程式である。　　ディラック表現　γ^μ（μ=0～3,k=1～3) 　　　　　　　γ行列には任意性があり、ディラック表現（これが最初の表現）があり、カイラル表現との関係は、ブロック単位の行列で表すと、 $\gamma^{\mu}_{\:\:\:\:chiral}=U\gamma^{\mu}_{\:\:\:\:Dirac}U^{\dagger} \hspace{40mm}U=\frac{1}{\sqrt{2}}$1\:\:0 \\ 0\:\:1$=\frac{1}{\sqrt{2}}}(1-\gamma^5\gamma^0)$ 　　　　　　　ディラック表現によるγ行列は、具体的には、前述＜ディラック方程式導出詳細＞に記した行列となる。すなわち、 $\gamma^0=\left(\sigma^0 \hspace{30mm} 0 \\0 \hspace{30mm} -\sigma^0 \right)$ $\hspace{30mm}\gamma^k=\left( 0 \hspace{30mm} \sigma^k \\ -\sigma^k \hspace{10mm} 0\right)$ 　　　　　　　　　　　 $\alpha_k=\left( 0 \hspace{30mm} \sigma^k \\ \sigma^k \hspace{10mm} 0\right) \hspace{20mm}\beta=\left(\sigma^0 \hspace{30mm} 0 \\0 \hspace{30mm} -\sigma^0 \right)$ 　　[注] γ⁰ 行列の２成分波動関数での扱い ディラック粒子の波動関数は４つのスピノールからなるが、２成分で扱うこともある。その時は、２行２列のブロック単位での行列計算を行う。実際的な計算は、σ⁰が単位行列であることより、カイラル表現・ディラック表現それぞれ、　　　　　　　　　　　　 $\gamma^0_{chiral}=\left(0 \hspace{20mm} 1 \\ 1 \hspace{20mm} 0 \right) \hspace{30mm}\gamma^0_{dirac}=\left(1 \hspace{20mm} 0 \\ 0 \hspace{10mm} -1 \right)$ と置いて、普通の行列の如く計算すればよい。

(a)自由粒子の解 (ディラック方程式 1)

　　　直上の＜参考＞に示したように、自由粒子のディラック方程式は、４元連立方程式である。
　　　γ行列をディラック表現に戻し、左から行列β=diag(1,1,-1,-1)を掛けると、元々のＨ＝ｃαｐ＋βｍｃ²から導かれた次の４元連立
　　　方程式（自然単位系でなくMKS単位系で表す）となる。
                                                   
                                                   
                                                   
                                                   
      自由粒子は、E,pが一定であるから、(k：波数ベクトル、r：位置ベクトル、p：運動量ベクトル、ω：角速度、E：エネルギー） 
                                                              
      と表せるので、上の４元連立方程式は次のように書きなおすことができる。
                                                   
                                                   
                                                   
                                                   
      u(u₁,u₂,u₃,u₄)が０でない解を持つためには、この行列式=0でなければならないから、
                                             

      すなわち、負のエネルギーを持つ粒子があることを示唆している。実際、この粒子は反粒子（陽電子等）として存在が確認されている。


      上の連立方程式を解くと、本項(a)の最後に記す解 u₁～u₄ を得るが、ここで電子が静止しているとすると、運動量は０、すなわち p_x=p_y=p_z=0 であるから、
      u₁=(1,0,0,0)、u₂=(0,1,0,0)等となる。


　　　電子がスピンを有するという実験事実から作り上げたパウリの経験則 ＜スピン：s=(s_x,s_y,s_z)、パウリ行列：σ=(σ_x,σ_y,σ_z)=(σ¹,σ²,σ³)＞
                           　　　　
                                           
　　　を用いれば、u=(u₁,u₂,u₃,u₄)に対し、静止状態の解＜(ex) u₁=(1,0,0,0)、u₂=(0,1,0,0)＞を適用すると、
                                           
      のように、u₂は、スピン -1/2(下向きスピン↓）を持つといえる。＜　u₁では、スピン 1/2(上向きスピン↑)　＞

      従い、ディラック方程式の解は、次のように、エネルギー正でスピンが上・下の２つと、エネルギー負でスピンが上・下の２つの合計４つの成分からなる。
      (以下の式で、E_pは、正のエネルギーを意味する。ie E_p=E₊）


                           　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                                

                           　　　　　　                                




　　　　　＜参考＞ディラック方程式解の２成分表示（ディラック行列とカイラル行列）

　　　　　　　①ディラック行列による２成分表示

      　　　　　　ディラック方程式の出発点であるハミルトニアンは、次式である。
                　　　　　　　　   
　　　　　　　　　これを量子化(H=E→i∂/∂t,p→-i▽)すると、次のディラック方程式式となる。
                　　　　　　　　
　　　　　　　　　その解ψは、４成分のスピノールψ_i(i=1～4)で表され、且つ、
                　　　　　　　　 
      　　　　　　この４つの成分 u_i を次のように、２つの成分（χ,λ）で表す。
                　　　　　　　　 
      　　　　　　
　　　　　　　　　さて、ψ_iをこのように２成分で表し、ディラック表現のγ行列を用いると、E = H = cαp+βmc² は、
                　　　　　　　　  
  　　　　　　　　と書けるので、整理すると、(σ^kp^k=σp,　σ⁰ = I (ブロック単位では１）)

                　　　　　　　　        
 
 
      　　　　　　p=0の時を考えると、E=mc²ならば、上左式は、
                　　　　　　　　  
　　　　　　　　　従い、λ=0でなければならない。すなわちχは正のエネルギーを持つ解である。
　　　　　　　　　p=0 で　E=-mc²ならば、χ=0でなければならない。すなわちλは負のエネルギーを持つ解である。
　　　　　　　　　p=0の時、u₁が上向きスピンを、u₂が下向きスピンを持つことは、前述の通りであるから、全体として、

                　　　　　　　　            
                　　　　　　　　

  

　　　　　　　②カイラル行列による２成分表示

 
                  標準理論は、ここで示すように、左巻き（ψ_L）・右巻き（ψ_R）粒子で論じられるのでこの表示は重要である。

                  後述のカイラリティを参照してください。表示のみ書くと、(ブロック単位での単位行列は１として計算する）
                　　　　　　　　           
                　　　　　　　　 

　　　　　　　　　さて、ψ_iをこのように２成分で表し、カイラル表現のγ行列を用いると、（自然単位系）E = H = αp+βm 量子化して　i∂/∂t+iα▽-βm)φは、
                　　　　　　　　  
  　　　　　　　　と書けるので、整理すると、(σ⁰ = I (ブロック単位では１）)
                　　　　　　　　   
                　　　　　　　　   
                  ここで、
                　　　　　　　　
                  とすると、ψ_L、ψ_R　は次式を満足する。

                　　　　　　　　   
                　　　　　　　　   

                  このような方程式を導くラグランジアン密度は、転置複素共役を ψ^† として、次式が考えられる。
                　　　　　　　　   
                  このラグランジアン密度は、ローレンツ対称性を示すが、実数ではない。ラグランジアン密度は、エネルギー密度で
　　　　　　　　　あり、実数でなければならないから、第１項第２項のエルミート共役（A=A^†のこと)（Hermite Conjugate：ｈｃと書く）を加えたものと
                  しなければならない。すなわち、（＜参考＞複素数の実数化： A=a+ib の場合、A'=A+A^*=(a+ib)+(a+ib)^*=(a+ib)+(a-ib)=2a ）　
                　　　　　　　　   
　　　　　　　　　本サイト冒頭の式の（hc) はこの意味で添えられている。

(b)電磁場の解 (マックスウェル方程式)

      ( [注] 自然単位系採用、計量テンソルη_μν=(1,-1,-1,-1)採用、電位場テンソル  採用 ）

      表中に記した電磁場のラグランジアン密度からマックスの方程式が導かれることは[Ⅱ](0)(a)②参考２「オイラーラグランジアン
　　　方程式とマックスウェル方程式」で既に示した。もう一度書くと、作用積分Sの微小変分δSは、
                　　　　　 
      δS=0であるためには [ ]=0でなければならないので、運動方程式として、マックスウェルの方程式が次のように得られる。
                　　　　　 
　　　λをμ、ρをνと書き直して、F^μν=∂^μA^ν-∂^νA^μを考慮すると、以下のように書き換えることができる。
                　　　　　 
      
      この式の微分をとると、次の連続の式を得る。( J^μ=(ρ、j) )
                　　　　　     


　　  ゲージ変換のところで説明したように、ポテンシャルエネルギーAには任意性があるので、ゲージを固定する条件を課す。
      ( [注] 上の式は簡素を旨に自然単位系で示すが、以下では、馴染みのある表現として、MKSA単位で表している。）

                ①ローレンツゲージ (電荷保存則を意味する） :  ( A^μ=(φ/c、A) )
                                    
　　　　　　　　　　　　　 更に、J^μ=0(ie 電荷密度ρ=0,電流密度j=0ならば、電磁波の方程式を与える。
                                      

                ②クーロンゲージ (静電場であれば、クーロンの法則の場となる）:  
                                    
                           電流密度 j=0 ならば、クーロンの法則を与える。(A⁰は、4元ポテンシャルA^μの時間成分）
                                    
　　　　　　　　　　　　　 球対称座標で書けば、
                                    

　　　　　　　　　　　　　 このクーロンゲージの例として、高速移動荷電粒子の電場を扱うことができるが、その解につい
　　　　　　　　　　　　　 ては、 「素粒子／霧箱」を参照してください。

(c)電磁場中の荷電粒子（特に水素原子の電子）のエネルギー解 (ディラック方程式 2)

      
　　　水素原子の電子は、原子核すなわち陽子からの静電場にある。直上②で説明したクローンゲージ場であるから、A^μはA⁰のみ
　　　である。表中に記した全系（相互作用）のディラック方程式は、荷電粒子の性質を知りたいのであるから、δψに対するδSを求めること
　　　（従いF_μνF^μνは消える）により得られるが、これにクーロンゲージを当てはめれば、普通にクーロンポテンシャルのあるハミルトニアン
　　　が得られる。
                　　　　　 
      この方程式を解くために、極座標(r,θ）に変換する。極座標での運動量p=(p_r)、係数α=(α_r）、角運動量L=r×pとして、以下を導入する。
                　　　　　 
                　　　　　 
      ここに導入した k は、軌道角運動量Lとスピン角運動量Sの和すなわち全角運動量Jの量子数である。(J_z=(-j,j+1,・・・・,j-1,j)(hﾊﾞｰ)､J²=j(J+1)(hﾊﾞｰ)2)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＜参考＞
                                             
                　　　　　 　　　　　　　　　
                　　　　　 　　　　　　　　　
                　　　　　 　　　　　　　　　
      パウリ行列の関係式より、
                　　　　　 
                　　　　　 

      従って、ハミルトニアンは極座標で次のように表される。
                　　　　　 
      ここで、αは、動径方向成分α_rのみであるから、α_rβ+βα_r=0　を満たすものとして、以下とし、
                　　　　　 
      また、(1/r)r・p=(r/r)・p=e_r・p すなわち pの動径への射影であることを考慮して量子化すると、－i(hﾊｯﾄ)∂/∂r であるから、
                　　　　　 

      Hψ=Eψから、波動方程式は、
                　　　　　 
      となるが、今考えているα_r、βを使い、更に ψ=(F/r,G/r)^t と置き、βkψをＦ，Ｇであらわすと、
                　　　　　 　　　　　
                　　　　　 
      更に、次の変換を行う。
                　　　　　 
                　　　　　 
      このように置くと、方程式は以下のようになる。
                　　　　　 
                　　　　　 

                                    

      この方程式は、f,gをrで級数展開し、境界条件・収束性より、"奇跡的"に解けるということであるが、
      分かったような分からないような議論なので、 割愛して、結果のみ記しておこう。
             ＜r=0における境界条件＞     
             ＜sの収束性＞　　　　　     
　　　sは級数の終わりの項を表すから、sは０か正の整数であるので、これを新たにｎ’と置くと、
           　　　　　 
      と書き直すと、エネルギーの固有値Ｅとして、つぎの式を得る。　　
           　　　　　 
      ここに、k および　主量子数 n は、
             　　　　　　　
　　　であるから？？？、水素類似原子のエネルギーが次式で得られる。原子番号：z、主量子数：n、
      スピンsと軌道角運動量ｌの合成角運動量を合成した角運動量：j、微細構造定数：
      α=e²/{4πε₀(h/2π）c}、原子番号：Ｚとして、

　　　　　　　　　 

              n,l,j,ｓの関係は、
　　　　　　　　　     n : 主量子数　　　　　　　　　　　　　  　    　 　n>0     　(正整数)
　　　　　　　　　     l : 軌道角運動量量子数 　　　　　 　　  　 　　  　l=0～n-1 　(整数)
　　　　　　　　　     j : 合成角運動量量子数   j=l+s ＜j=l±(1/2)＞　　  j>0        (整数)
　　　　　　　　　     s : スピン量子数　　　   s=±(1/2)　　　

              水素原子(Z=1)の場合、1s_1/2(l=0,j=1/2)、2s_1/2(l=0,j=1/2)、2p_3/2(l=1,j=3/2)、2p_1/2(l=1,j=1/2)、
　　　　　　　　　　　　　　　　　 3s_1/2(l=0,j=1/2)、3p_3/2(l=1,j=1/2)、3p_5/2(l=2,j=1/2)・・・・・のような組み合わせとなる。

       理科年表の実測値と、シュレーディンガー方程式の解・ディラック方程式の解の対比を右上図に示す。細かい数値を無視すれば、
　　　 いずれの方法でもよい一致を示す。
　　　 しかし、シュレーディンガー方程式では表せないスペクトルの微細構造（スピンと軌道角運動量の相互作用によるスペクトルの分離）
       を、ディラック方程式では説明できる。とは言え、3S1/2→2S1/2と3S1/2→2p1/2とで同じ値を示すなど完全ではない（これはラムシフト
       と呼ばれ、場の理論（電子が光子を放出し再び吸収するという光子の生成消滅などを論ずる理論）における高次の摂動論で説明される）。

(d)電磁場中の荷電粒子の磁気モーメント解

物質による磁性は、荷電粒子のもつスピンが原因であることが今では分かっている。そのスピンの持つ磁気双極子モーメントがディラック方程式からどのように導かれるかを以下に示そう。

　　＜古典力学によるボーア磁子＞

まず、磁気双極子モーメント（簡単に磁気モーメントと言う）とは何か、また、微小円形電流の作る磁場との比較で得られる角運動量による磁気モーメントとはどんなものかを簡単に復習して置こう。＜磁気モーメント＞　　距離ｄ離れた磁荷±qmのペアがあるとき、次式で定義されるMを磁気　　　　　　　　　　　　　　　　　モーメントという。　　　　　　　　　 $\bf M\rm=(1/\mu_0)q_m\bf d\rm$ ＜同上エネルギー＞外部磁場 B_ext の中にある磁気双極子の持つポテンシャルエネルギーは次式で与えられる。外部磁場と磁気モーメントが垂直の位置をポテンシャルエネルギーの基準　　　　　　　　　　　　　　　　　として、U=2∫F・dx=2∫F_zdz=2∫(q_mB_z/μ₀)(d/2sinθ)dθ=-M_zB_zcosθゆえ、　　　　　　　　　 $U=-\bf M\rm\cdot\bf B\rm_{ext}=-MB_{ext}\cos\theta$ ＜円形電流 I と磁気双極子の作る磁場＞それぞれの中心から十分遠方 r にある点Ｐ(r＞＞a)での磁場は、それぞれ　　　　　　　　　 $B=\frac{\mu_0 Ia}{2r^3}(=\frac{\mu_0 IS}{2\pi r^3}\hspace{10mm}{,}\hspace{10mm}S\equiv \pi a^2)$ 　　　　　　　　　 $B=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{M}{r^3}$ 両者は同じ形をしており、磁気双極子と円形電流は等価であると言える。この２式の比較から、次の関係が導ける。　　　　　　　　　 $M=IS$ ＜角運動量と磁気モーメント＞　　　　　　　　　　　　　　　　エネルギーのもっとも低い状態は、外部磁場の方向に角運動量ベクトルが向き、磁気双極子では外部磁気の方向に磁気　　　　　　　　　　　　　　　　モーメントのベクトルが向く（すなわちＮ極がその方向に行く）状態である。。　　　　　　　　　　　　　　　　　荷電粒子の角運動量　L　および荷電粒子による電流Ｉは、それぞれ、(電子が１周する時間Ｔ=2πa/v)　　　　　　　　　　 $|\bf L\rm|=|\bf a\rm\times(m\bf v\rm)|=mav$ $I=e/T=e(v/2\pi a)=eva/(2S)$ M=ISであるから、角運動量による磁気双極子モーメント M は、　　　　　　　　　 $M=IS=\frac{eva}{2}=\frac{e}{2}\frac{L}{m}=\frac{e}{2m}L$ ＜ボーア磁子＞　　　　ボーア磁子とは、ボーアの原子模型において、基底状態にある電子の角運動量による磁気モーメントμ_bのことを言う。基底状態の角運動量は、ディラック定数（hﾊﾞｰ)であるから、質量を電子の質量 m_eとして、( B=(0,0,B) & L=(0,0,L) ) 　　　　　　　　　 $\mu_B=M=\frac{e}{2m} L=\frac{e}{2m_e}\bar{h}=\frac{e\bar{h}}{2m_e} \hspace{80mm}{(ref)}\hspace{20mm}\hat{L}=\hat{L_z}=m\hbar=\hbar\hspace{5mm}{for}\hspace{5mm}(l=1,m=1)$ 　磁気モーメントμ_Bと角運動量 L との比例係数を磁気回転比という。角運動量には、軌道角運動量 L(磁気量子数 m_L)・スピン角運動量 s (スピン磁気量子数 m_S)などがあるが、それらから生ずる磁気モーメントμを、それに対応する磁気回転比が、ここで述べた軌道角運動量に対応する磁気回転比の何倍かとして、表現する。　　　　　　　　　 $\mu_L\equiv (g_L\frac{e}{2m}) L=g_L\mu_B(\frac{L}{\bar{h}})=g_L\mu_B(m_L) \hspace{40mm}\mu_S\equiv (g_S\frac{e}{2m})s=g_S\mu_B(\frac{s}{\bar{h}})=g_S\mu_B(m_s)$ 　この係数をｇ因子という。このように表現すると、それぞれの角運動量に対し、次のような値を持つ。　　　　　　　　　　　　　　　　　 $g_L=1 \hspace{100mm}\hspace{100mm}g_S\simeq 2$ 　

　　＜ディラック方程式による磁気モーメント＞

既に述べたように、自由粒子のディラック方程式は、２つの成分として、つぎのように書き換えられる。　　　　　　　　　 $E\left(\chi \\ \lambda \right)=\left(mc^2 \hspace{30mm} c\bf\sigma \rm\cdot\bf p\rm \\ c\bf\sigma \rm\cdot\bf p\rm \hspace{30mm} -mc^2 \right)\left(\chi \\ \lambda \right)$ $\hspace{40mm}{where}\hspace{40mm}\psi=\chi+ \lambda =\left(\chi \\ 0 \right)+\left(0 \\ \lambda \right)=\left(\chi \\ \lambda \right)$ 但し、前述の自由粒子のディラック方程式の解（u₁,u₂,u₃,u₄)を用いて、　　　　　　　　　 $\omega=\left(\chi \\ \lambda \right) \hspace{40mm}\chi=\left(u_1 \\ u_2\right) \hspace{40mm}\lambda=\left(u_3 \\ u_4\right)$
　　　ここで、電場との相互作用を考えるため、E→E＋eV、p→p＋eA（ここでは q=-e としている）を考慮すると、方程式は、　　　　　　　　　 $E\left(\chi \\ \lambda \right)=\left(mc^2-eV \hspace{30mm} c\bf\sigma \rm\cdot(\bf p\rm+e\bf A\rm) \\ c\bf\sigma \rm\cdot(\bf p\rm+e\bf A\rm) \hspace{30mm} -mc^2-eV \right)$ $\left(\chi \\ \lambda \right)$ さらに、シュレーディンガー方程式では静止質量を無視しているので、これを追加して、　　　　　　　　　 $\psi=\left(\chi \\ \lambda \right)\exp{(-i\frac{mc^2}{\hbar}t)}$ と置き、これを上式に代入すると、　　　　　　　　　 $i\hbar(-i\frac{mc^2}{\hbar}+\frac{\partial}{\partial t})\chi=c\bf\sigma \rm\cdot(\bf p\rm+e\bf A\rm)\lambda+(mc^2-eV)\chi$ $\hspace{20mm}\rightarrow\hspace{20mm}i\hbar\frac{\partial \chi}{\partial t}=c\bf\sigma \rm\cdot(\bf p\rm+e\bf A\rm)\lambda-eV\chi$
　　　　　　　　　 $i\hbar(-i\frac{mc^2}{\hbar}+\frac{\partial}{\partial t})\lambda=c\bf\sigma \rm\cdot(\bf p\rm+e\bf A\rm)\chi+(-mc^2-eV)\lambda$ $\hspace{20mm}\rightarrow\hspace{20mm}2mc^2\lambda+i\hbar\frac{\partial\lambda}{\partial t}=c\bf\sigma \rm\cdot(\bf p\rm+e\bf A\rm)\chi-eV\lambda$ 第２式は、クーロンポテンシャル eV および運動エネルギー∂/∂t が mc² に比し極めて小さいとすると（→）のように近似ができて、　　　　　　　　　 $2mc^2\lambda+i\hbar\frac{\partial\lambda}{\partial t}=c\bf\sigma \rm\cdot(\bf p\rm+e\bf A\rm)\chi-eV\lambda$ $\hspace{20mm}\rightarrow\hspace{20mm}\lambda \simeq \frac{1}{2mc}c\bf\sigma \rm\cdot(\bf p\rm+e\bf A\rm)\chi$ この近似式を上の第１式（右側）に代入して、　　　　　　　　　 $i\hbar\frac{\partial \chi}{\partial t} \simeq \frac{1}{2m}\bf\sigma \rm\cdot(\bf p\rm+e\bf A\rm)\bf\sigma \rm\cdot(\bf p\rm+e\bf A\rm)\chi-eV\chi$ 後は、パウリ行列の関係式 (σ・P)(σ・Q)=P・Q+iσ・(PxQ)を用いて変形すれば、（ a×a=0 ) 　　　　　　　　　 $\bf\sigma \rm\cdot(\bf p\rm+e\bf A\rm)\bf\sigma \rm\cdot(\bf p\rm+e\bf A\rm)=(\bf p\rm+e\bf A\rm)^2+i\bf\sigma \rm(\bf p\rm+e\bf A\rm)\times(\bf p\rm+e\bf A\rm)$ $=(\bf p\rm+e\bf A\rm)^2+i\bf\sigma \rm(\bf p\rm\times\bf A\rm+\bf A\rm\times\bf p\rm)$ 　　　　　　また、第２項( )内をχに作用させると、（ a×b=-b×a 、p×A=-i(h/2π)rotA=-i(h/2π)B )　　　　　　　　　　　　 $(\bf p\rm\times\bf A\rm+\bf A\rm\times\bf p\rm)\chi=(\bf p\rm\times\bf A\rm)\chi+(\bf p\rm\chi)\times\bf A\rm+\bf A\rm\times(\bf p\rm\chi)=(\bf p\rm\times\bf A\rm)\chi=-i\hbar\bf B\rm\chi$ 　　　　　　　　　　　　であるから、以下の経験的なパウリの方程式が得られる。　　　　　　　　　 $i\hbar\frac{\partial \chi}{\partial t} \simeq \left{\frac{(\bf p\rm+e\bf A\rm)^2}{2m}-eV+\frac{e\hbar\bf\sigma\rm}{2m}\cdot\bf B\rm \right}\chi$

　　　この式を更に変形する。今、B=(0,0,B)=(0,0,B_z)とすると、B=rotAであるから、A=(-1/2yB,1/2xB,0)と書ける。従い、A²=(1/4)B²(x²+y²)、　　　 A・p=A・▽=-i(h/2π){ A_x(∂/∂x)+A_y(∂/∂y)+A_z(∂/∂z)}=-i(h/2π){(1/2)B(x∂/∂y-y∂/∂x)}=(1/2)B{-i(h/2π)(x∂/∂y-y∂/∂x)}=(1/2)B_zL_z =(1/2)B・Lであるから、第１項を展開して整理すると、次式を得る。( s=(1/2)(h/2π)σ ) 　　　　　　　　　 $i\hbar\frac{\partial \chi}{\partial t} \simeq \left{\frac{1}{2m}\bf p\rm^2-eV+\frac{e\hbar}{2m}\bf L\rm\cdot\bf B\rm+\frac{e}{m}\bf s\rm\cdot\bf B\rm \right}\chi$ $\hspace{10mm}\:\:[\:\:+\frac{e^2\bf B\rm^2}{8m}(x^2+y^2)\chi\:\:]$ [ ]で記す最終項は水素原子の場合微小なので無視できて、{ }内　第３項が軌道角運動量と外部磁場との相互作用によるポテンシャルエネルギー、　　　第４項がスピン角運動量と外部磁場との相互作用によるポテンシャルエネルギーを表す。　　　このポテンシャルエネルギーは－μ・Bと定義しているので、スピンの持つ磁気モーメントμ_sは、　　　　 (refではB=(0,0,B)=(0,0,B_zとしている) 　　　　　　　　　 $\bf \mu\rm_s=-\left(\frac{e\bar{h}}{2m}\right)\bf \sigma\rm=-\left(\frac{e}{m}\right)\bf s\rm$ $\hspace{20mm}{where}\hspace{20mm}\bf s\rm=\frac{\bar{h}}{2}\bf \sigma\rm$ $\hspace{60mm}{(ref)}\hspace{20mm} (\bf s\rm\cdot\bf B\rm)\chi=(\bf B\rm\cdot\bf s\rm)\chi=B_z(s_z\chi)=B_z\{\frac{1}{2}\bar{h}\sigma_z\}\chi$ $\hspace{70mm}=B_z[\frac{1}{2}\bar{h}\left(1\hspace{10mm}0\\0\hspace{5mm}-1\right)\left(\chi \\ 0 \right)]=B_z(\frac{1}{2}\bar{h}\chi)=m_S\bar{h}|\bf B\rm|\chi)$ μ_Sに負符号が付くことは、磁気モーメントとスピン（角運動量ベクトル）は反平行である（電子の回転による電流は回転とは逆向き）と言うことである。スピン角運動量sの磁気量子数 m_S=1/2 ( s_zの固有値＝(1/2)×(hﾊﾞｰ) )であるから、磁気モーメントμ_S は、上の結果とｇ因子を用いた表現を比較して、　　　　　　　　　 $g_S=2 \hspace{20mm}\leftarrow \hspace{20mm} |\bf\mu\rm_s|=\left(\frac{e\bar{h}}{m}\right)\frac{s}{\bar{h}}=\left(\frac{e\bar{h}}{m}\right)m_S$ $\hspace{5mm}{,}\hspace{5mm} |\bf\mu\rm_s|=g_S\mu_Bm_S=g_S\left(\frac{e\bar{h}}{2m}\right)m_S$ 　　　上に求めたディラック方程式の解によれば、ｇ因子は、丁度 g = 2 となる。

原子では、それぞれを μL、μS、全体を μ とすると磁気モーメントは、電子を添え字e、陽子を添え字p で表して、　　　　　　　　　 $\bf\mu\rm_e=\bf\mu\rm_L_e\bf L\rm_e+\bf\mu\rm_S_e\bf s\rm_e=\left(\frac{-e}{2m_e}\right)\bf L\rm_e+g_e\left(\frac{-e}{2m_e}\right)\bf s\rm_e$ 　　　　　　　　　 $\bf\mu\rm_p=\bf\mu\rm_L_p\bf L\rm_p+\bf\mu\rm_S_p\bf s\rm_p=\left(\frac{-e}{2m_p}\right)\bf L\rm_p+g_p\left(\frac{-e}{2m_p}\right)\bf s\rm_p$ $\hspace{50mm}{ie}\hspace{20mm}g_e=g_p=2$ 　　　　　　　　　 $\bf\mu\rm=\bf\mu\rm_e+\bf\mu\rm_p\simeq\bf\mu\rm_e\simeq g_e\left(\frac{-e}{2me}\right)\bf s\rm_e$ すなわち、スピンに関するｇ因子(g_e,g_p)は２であり、陽子の質量が電子のそれに比し大であるので、原子の磁気モーメントは、電子の磁気モーメント　　　に等しいと言える。さらに言えば、多電子原子では、合成角運動量で扱い、電子の軌道角運動量の磁気的効果は互いに相殺し小さくなるので、全体の　　　磁気モーメントは、不対電子のスピンの磁気モーメントで決まると言える。

ところが、g因子は極めて精度高く測定されており、その実測値は、　　　　　　　　　 $(Observed\:\: Value)\::\:\hspace{20mm}g_e=2.002319304$ この誤差は、場の理論における電子による光の放出・吸収過程を摂動法的に計算することにより説明される。それは、微細構造定数αの冪級数で　　　表すことができ、２次摂動までの計算では、次のような値が計算されている。　　　　　　　　　 $g_e=2(1+\frac{\alpha}{2\pi})=2.00232282\hspace{40mm}(\alpha=1/137.035999)$ 高次の摂動では発散するため、繰り込み理論必要となり、それによると、gは実験値と１０桁まで合致する驚異的な結果をもたらすという。電子として扱われるディラック粒子は、点粒子で、ｇ因子は厳密に２である。g≠２ということは、観測される電子は点粒子ではなく、裸の　　　電子の周りに光子の雲を纏っていると解釈され、電子そのもの自身の性質は観測不可能であるということを意味する。

(3)ゲージ理論～可換ゲージ変換Ｕ(1)（電磁場）と非可換ゲージ変換ＳＵ(N)（ヤン・ミルズ場）

	ゲージ変換	ゲージ場の強さ	全ラグランジアン密度
可換ゲージ変換（電磁場）	ディラック自由粒子場Ｌの位相変換U(1)対称性要請 $\hspace{40mm}\mathcal{L}=\bar{\psi}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-m\bar{\psi}\psi$ $\hspace{100mm} U=e^{i\omega} \hspace{20mm}(\omega=q\lambda=-e\lambda)$ $\hspace{80mm}\Downarrow$ 共変微分採用→ゲージ場 $\hspace{40mm}D_{\mu}=\partial_{\mu}+iqA_{\mu}$ $\hspace{100mm} U=e^{i\omega} \hspace{20mm}(\omega=q\lambda)$ 位相変換・ゲージ変換 $\hspace{40mm} \psi\rightarrow \psi^{'}_{\mu}=U\psi=e^{i\omega}\psi(=e^{iq\lambda}\psi)$ $\hspace{40mm} A_{\mu}\rightarrow A'_{\mu}=A_{\mu}-\frac{1}{q}\partial_{\mu}\omega(=A_{\mu}-\partial_{\mu}\lambda)$ $\hspace{40mm} D_{\mu}\rightarrow D^{'}_{\mu}=UD_{\mu}U^{\dagger}$	導入ゲージ場の強さ $\hspace{40mm}\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ $\hspace{20mm}\hspace{40mm}F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$	相互作用項の出現　　　　　　　　 $\hspace{20mm}\mathcal{L}=\bar{\psi}i\gamma^{\mu}D_{\mu}\psi-m\bar{\psi}\psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ 　　　　　　　　　　 $\hspace{20mm}\hspace{20mm}=\bar{\psi}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-m\bar{\psi}\psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ 　　　　　　　　　　 $\hspace{20mm}\hspace{40mm}-q\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi$
非可換ゲージ変換（核力場）	ディラック自由粒子場Ｌの位相変換SU(N)対称性要請 $\hspace{40mm}\mathcal{L}=\bar{\psi}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-m\bar{\psi}\psi$ $\hspace{40mm}U=e^{i\omega^aT^a} \hspace{40mm}(U^{\dagger}U=I)$ $\hspace{40mm}[T^a,T^b]=i\epsilon^{abc}T^c$ 但し、 $\hspace{20mm}\hspace{20mm}T^a\equiv\frac{1}{2}\sigma^a(a=1-3\:\:for\:\:Weak Boson)$ $\hspace{20mm}\hspace{20mm}T^a\equiv\frac{1}{2}\lambda^a(a=1-8\:\:for\:\:Gluon)$ 共変微分採用→ゲージ場 $\hspace{40mm}D_{\mu}=\partial_{\mu}+igA_{\mu}^aT^a$ $\hspace{100mm}U=e^{i\omega^aT^a} \hspace{20mm}U^{\dagger}U=I$ 位相変換・ゲージ変換 $\hspace{40mm}\psi\rightarrow \psi^{'}_{\mu}=U\psi=e^{i\omega^aT^a}\psi$ 　　　　　　　　 $\hspace{40mm}A_{\mu}\rightarrow A'_{\mu}=UA_{\mu}U^{\dagger}+\frac{i}{g}(\partial_{\mu}U)U^{\dagger}$ $\hspace{40mm} D_{\mu}\rightarrow D^{'}_{\mu}=UD_{\mu}U^{\dagger}$	導入ゲージ場の強さ $\hspace{40mm}\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}$ $\hspace{40mm}\hspace{20mm}F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}^a-\partial_{\nu}A_{\mu}^a-g\epsilon^{abc}A_{\mu}^bA_{\nu}^c$	相互作用項の出現　　　　　　　　 $\hspace{20mm}\mathcal{L}=\bar{\psi}i\gamma^{\mu}D_{\mu}\psi-m\bar{\psi}\psi-\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}$ 　　　　　　　　　　 $\hspace{20mm}\hspace{20mm}=\bar{\psi}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi-m\bar{\psi}\psi-\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}$ 　　　　　　　　　　 $\hspace{20mm}\hspace{40mm}-g\bar{\psi}\gamma^{\mu}A^a_{\mu}T^a\psi$

      [注] 波動関数の変換 e^±iω 、共変微分 D_μ＝∂_μ±igA_μ の符号次第では次のように、ゲージ場変換 A'_μ=A_μ±(1/g)∂_μω、ゲージ場との相互作用
          （ネーターカレント）の符号が変わる。
　　　　　　　　　　　　        
　　　　　　　　　　            
　　　　　　　　　　            
　　　　　　　　　　            
           この扱いは、ネーターカレントJ_μを用いた、ゲージ場A_μとの相互作用項の符号のどちらを採用するかの問題であり、教科書
　　　　　 又は扱う場により様々である。本サイトでは統一的に書けておりませんので注意深く読んで下さい。

(a)ゲージ場とゲージ変換

「場」というのは、みんながよく知っているような重力場・電磁場などのことである。重力場とは、その場にこれと相互作用する質量を有する粒子を置けばそれに重力という力が働く場のことを言い、電磁場とは、その場にこれと相互作用する電荷を有する粒子を置けばそれに電磁気力という力が働く場のことを言う。このように、何らかの場を導入するとそれと相互作用する粒子があってそれに力が働く。これらの場を総称して「ゲージ場」という。

標準理論は、ラグランジアン密度の対称性を要請することは既に述べた。ラグランジアン密度の対称性を要請することからゲージ場が導入され粒子場とゲージ場の相互作用が導入される。このことをゲージ化・ゲージ原理という。

前項（２）で見た "全系（自由粒子と電磁場の相互作用）のラグランジアン"は、ローレンツ力が導出できるようにハミルトニアンで p→p－qAの置き換えで得られたものであるが、この相互作用が上で述べたように対称性を要請することから導入されることを見てみよう。

以下の説明は、既に述べた、次のような自由粒子のラグランジアン密度を出発点とする。（ψ^† は、ψの複素共役の転置）
　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\bar{\psi}\{i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m\}\psi \hspace{80mm}(\bar{\psi}=\psi^{\dagger} \gamma^0)$

①大域的ゲージ変換

波動関数は４成分を持ち、一つの組はエネルギー正でスピンが↑↓の２成分であった。これを抽象空間（内部空間）における平面での２つのベクトルと見て、平面内での回転すなわち次のような位相変換（後述の＜参考１＞「回転座標と位相変換」を見てほしい）を受けることを考えよう。
　　　　　　　　 $\psi^{'}=\psi e^{i\omega(x,t)} \hspace{80mm}(\bar{\psi}^{'}=\bar{\psi} e^{-i\omega(x,t)})$
すると、運動項のラグランジアン密度は、次のように変換される。
　　　　　　　　 $\partial_{\mu}\psi^{'}=\partial_{\mu}(e^{i\omega}\psi)=i(\partial_{\mu}\omega)e^{i\omega}\psi+e^{i\omega}\partial_{\mu}\psi$ $\hspace{40mm}(=e^{i\omega}\partial_{\mu}\psi\hspace{10mm}if\hspace{10mm}\partial_{\mu}\omega=0)$
従い、ラグランジアン密度は、ωが時空の場所によらず一定であるならば、∂_μω= 0 であるから、次のように変換される。
　　　　　　　　 $\mathcal{L}^{'}=\bar{\psi}^{'}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi^{'}=e^{-i\omega}\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)e^{i\omega}\psi=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi=\mathcal{L}$
すなわち、ωが時空の場所によらず一定であるならばラグランジアン密度は不変である。これを大域的対称性＜大域的ゲージ変換、大域的位相変換 or 大域的 U(1)変換（U(1)とは1×1のユニタリー行列すなわちU(1)=exp{iω}で、U(1)^†=exp{-iω}、 U(1)^†U(1)=I)＞という。

②局所的ゲージ変換

ωが場所によって変わる場合、∂_μω≠ 0 であるから、①でみたように運動項は対称性を示さず、そのままでは、ラグランジアン密度は変化してしまう。すなわち、運動項の微分∂_μでは、対称性のある運動項とならない。

従い、或るベクトル A_μを用いて次のように定義される共変微分Ｄ_μを用いなければならないことが分かる。（共変ベクトルの数学的意味は専門書を参照してください）
　　　　　　　　　 $D_{\mu}=\partial_{\mu}+iqA_{\mu}$
このように導入されるベクトル場 A のことをゲージ場という。

この時、そのベクトル場 A が、
　　　　　　　　 $A^{'}_{\mu}=A_{\mu}-\frac{1}{q}\partial_{\mu}\omega\hspace{40mm}{or}\hspace{20mm}A^{'}_{\mu}=A_{\mu}-\partial_{\mu}\lambda \hspace{10mm}\mbox{where}\hspace{10mm}(\omega=q\lambda(x))$
のように変換されるとすると、共変微分で表された運動項は、変換 ψ= e^iωψに対し、次のように変換される。
　　　　　　　　 $D^{'}_{\mu}\psi^{'}=(\partial_{\mu}+iqA^{'}_{\mu})\psi^{'}=\{\partial_{\mu}+iq(A_{\mu}-\frac{1}{q}\partial_{\mu}\omega) \}e^{i\omega}\psi$ $=\partial_{\mu}(e^{i\omega}\psi)+iq\{A_{\mu}e^{i\omega}\psi-\frac{1}{q}(\partial_{\mu}\omega) e^{i\omega}\psi\}$
$\hspace{135mm}=e^{i\omega}\{\partial_{\mu}+i(\partial_{\mu}\omega)+iqA_{\mu}-i(\partial_{\mu}\omega) \}\psi=e^{i\omega}(\partial_{\mu}+iqA_{\mu})\psi=e^{i\omega}D_{\mu}\psi$
この関係を用いると、再定義されたラグランジアン密度Ｌは、∂_μω≠ 0 であろうとなかろうと、変換により不変である（対称性を持つ）ことが分かる。
　　　　　　　　 $\mathcal{L}{'}=\bar{\psi}^{'}(i\gamma^{\mu}D^{'}_{\mu}-m)\psi^{'}=\bar{\psi}^{'}\{i\gamma^{\mu}(D^{'}_{\mu}\psi^{'})-m\psi^{'}\}$ $=\bar{\psi}e^{-i\omega}\{i\gamma^{\mu}(e^{i\omega}D_{\mu}\psi)-m(e^{i\omega}\psi)\}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu}-m)\psi=\mathcal{L}$
尚、共変微分Ｄ_μの変換は、U = e^iω ( U^† = e^-iω、U^†U = I、ψ' = Uψ )と置けば、次のようにも表すことができる。
　　　　　　　　 $D^{'}_{\mu}=UD_{\mu}U^{\dagger}$ $\hspace{100mm}<\therefore\:\:D^{'}_{\mu}\psi^{'}=U(D_{\mu}\psi)>$
また、A の変換は、Ｕを用いれば、次のように表すことができる。( 実際、下式に U = e^iω を代入すれば、A_μ'=A_μ-(1/q)∂_μω となる）
　　　　　　　　 $A_{\mu}^{'}=UA_{\mu}U^{\dagger}+\frac{i}{q}(\partial_{\mu}U)U^{\dagger} \hspace{20mm}{or}\hspace{20mm} A_{\mu}^{'}=UA_{\mu}U^{\dagger}-\frac{i}{q}U(\partial_{\mu}U^{\dagger})$


                                       ＜参考＞ 導出

                                            共変微分で表された運動項は、Ｄ_μ' = UＤ_μU^†、U^†U = I を用いると、 
                　　　　　　　　　　　　　　　　
                　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　両者を比較すると、
                　　　　　　　　　　　　　　　　
                                            右から、U^† を掛けて、移項整理して、
                　　　　　　　　　　　　　　　　
                                            また、UU^† = I すなわち ∂^μ(UU^† )=(∂^μU)U^†＋U(∂^μU^†)=0 を用い変形すると、
                　　　　　　　　　　　　　　　　
                                            


                                            尚、Ｄ_μ' = UＤ_μU^†であることと、Ｄ_μ'ψ'=U(Ｄ_μψ)はとは、同じことを意味する。

以上のように再定義されたラグランジアン密度は、変形すると次式のようにゲージ場Ａ_μと粒子の相互作用項Ａ_μj^μが明確になる。
この j^μ をネーターカレント (粒子数密度の流れ）という。符号は、電磁場のラグランジアン密度に現れる電流密度（電荷密度の流れ）qj^μ=｜e｜j^μ に合わせてある。）
　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu}-m)\psi$
　　　　　　　　 $\hspace{10mm}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi-qA_{\mu}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$
　　　　　　　　 $\hspace{10mm}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi-A_{\mu}j^{\mu}$ $\hspace{80mm}\mbox{where}\hspace{40mm}(J^{\mu}=q\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi)$
ここで見たように、ωが場所によって変わる場合、ラグランジアン密度の対称性を要請すると、ゲージ場が導入され、且つラグランジアン密度が、自由粒子のラグランジアン密度のほかに、ゲージ場との相互作用の項 $qA_{\mu}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$ (または　A_μJ^μ ）が必然的に導入される。

例えば原子核など外部電荷・電流分布を J^μ とし、上にみた荷電粒子の流れ j^μ　を合わせた全体的なラグランジアン密度は、次のように表される。
　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-J^{\mu}A_{\mu}-qj^{\mu}A_{\mu}$

以上を整理して記すと、次のようになる。すなわち、粒子場ψとゲージ場A_μは共変微分D_μを通じてのみ結合し、
　　　　　　　　 $\partial_{\mu}\rightarrow D_{\mu}=\partial_{\mu}+iqA_{\mu}$
ωを任意の関数(ω=qλ：qは定数）として次のゲージ変換（ψの位相変換Ｕと同時に以下のゲージ場A_μの変換を言う）
　　　　　　　　 $\psi\rightarrow \psi^{'}_{\mu}=U\psi=e^{iq\lambda}\psi \hspace{80mm}(U=e^{iq\lambda})$
　　　　　　　　 $A_{\mu}\rightarrow A'_{\mu}=A_{\mu}-\frac{1}{q}\partial_{\mu}\omega \hspace{40mm}or\hspace{20mm}(A'_{\mu}=A_{\mu}-\partial_{\mu}\lambda)$
の下でラグランジアン密度は不変となる。（新しい場 A_μ を導入したので、 A_μ の運動項 F_μν を追加する。電磁場のラグランジアン密度 F_μνF^μν が上のゲージ変換で不変なことは、既に述べた F_μν の不変性より自明である）
　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu}-m)\psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ $\hspace{100mm}(ie)\hspace{50mm}\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-q\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi$
このとき、共変微分D_μの変換は次のようになる。
　　　　　　　　 $D_{\mu}\rightarrow D^{'}_{\mu}=UD_{\mu}D^{\dagger}$

ここに、q を結合定数という。1次元のユニタリー変換 u(1) の場合、粒子場はスピンを持ち、ゲージ場は電磁場である。そして、その結合定数であるｑは電荷－e のことである。

＜参考1＞　座標回転と位相変換（対称性とユニタリー群の生成子) ３次元空間座標x(x,y,y,z)において、z軸周りの微小回転dθ_zによる変換（無限小変換）　　　　　　　　　　　 $\psi^{'}(\bf x^{'}\rm)=U(d\theta_z)\psi(\bf x\rm)$ を考えると、回転行列でのsinθ、cosθの微少量をとり、テーラー展開を行って、　　　　　　　　　　　 $\psi^{'}(x',y',z')=\psi(x+yd\theta,y-xd\theta,z)$ 　　　　　　　 $\hspace{80mm}\simeq \psi(x,y,z)+yd\theta\frac{\partial\psi}{\partial x}-xd\theta\frac{\partial\psi}{\partial y}$ $=\psi+i\frac{1}{\bar{h}}d\theta\{i\bar{h}(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x})\}\psi=(1-\frac{i}{\bar{h}}d\theta\hat{L}_z)\psi\equiv U(d\theta)\psi$ ここで、以下の角運動量およびその演算子の関係を使った。　　　　　　　　　　　 $\bf L\rm=\bf r\rm\times \bf p\rm \hspace{40mm}\bf L\rm_z=(\bf r\rm\times \bf p\rm)_z=xp_y-yp_x$ $\hspace{40mm} \hat{L}_z=x(-i\bar{h}\frac{\partial}{\partial y})-y(-i\bar{h}\frac{\partial}{\partial x})=-i\bar{h}(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x})$ 　　　　　　　　　　　　　　微少量角回転dθの繰り返しで回転角θとなるとすると、dθ=θ/N と置いて、U(θ）が次のように得られる。　　　　　　　　　　　 $U(\theta_z)=\lim_{N\rightarrow\infty}U(d\theta_z)^N=\lim_{N\rightarrow\infty}(1-\frac{i}{\bar{h}}\frac{\theta}{N}\hat{L}_z)^N=\mathcal{exp}(-\frac{i}{\bar{h}}\theta_z\hat{L})$ $\hspace{20mm}\leftarrow\hspace{20mm} e^x=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{x}{n})^n$ 　　　　或いは、微分 dU(θ)=U(θ+dθ)-U(θ) を用いて、以下のように微分方程式からも得られる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $U(\theta_z+d\theta_z)=U(d\theta)U(\theta)=(1-\frac{i}{\bar{h}}d\theta\hat{L}_z)U(\theta_z)$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\therefore\:\:\frac{dU(\theta_z)}{d\theta_z}=-\frac{i}{\bar{h}}\hat{L}_zU(\theta_z) \hspace{40mm}(ie)\hspace{20mm}U(\theta_z)=\mathcal{exp}(-\frac{i}{\bar{h}}\theta_z\hat{L}_z)$ 　　　　　　　　　　　　　　すなわち、U(θ）は、回転行列であって、角運動量 L_z を生成子とするユニタリー群である。　　　　　　　　　　　　　　このユニタリー演算子を波動関数ψ= A exp{i(2π/λ)x-ωt}に作用させることは、波動関数の位相変換を行うことと同じことである。　　　　　　　　　　　　　　ユニタリー変換により対称性がある場合、その生成子は次のように対応する物理量を保存する。（これをネーターの定理という）　　　　空間並進対称性　　 $U(\theta_z)=\mathcal{exp}(-\frac{i}{\bar{h}}\theta\hat{p}_x)$ （運動の保存）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　空間回転対称性　　 $U(\theta_z)=\mathcal{exp}(-\frac{i}{\bar{h}}\theta_z\hat{L}_z)$ （角運動量の保存）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　時間推進対称性　　 $U(\theta_z)=\mathcal{exp}(-\frac{i}{\bar{h}}a\hat{E}_z)$ （エネルギーの保存）　　　

　　　　　　　　　　　　　　　生成子を、角運動量演算子 L_z にかえて、スピン演算子 S_z とすると、　　　　　　　　　　　 $U(\theta_z)=\mathcal{exp}(-\frac{i}{\bar{h}}\theta_z\hat{S}_z)=\mathcal{exp}\{-\frac{i}{\bar{h}}\theta_z(\frac{1}{2}\bar{h}\sigma_z)\}$ $=\mathcal{exp}(-\frac{i}{2}}\theta_z\sigma_z)=\left(e^{-i\theta/2} \hspace{10mm}0 \\ 0\hspace{50mm} e^{i\theta/2} \right)$ $\leftarrow \sigma^z=\left(1 \hspace{30mm} 0 \\ 0 \hspace{20mm} -1 \right)$ 　　　　　　　　　　　最後の等号は、下の＜参考２＞を参照してください。＜参考２＞　行列の指数関数　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)一般論 : 行列Aの指数関数は、次のように展開出来て、この無限和は必ず収束することが知られている。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\exp{\bf A\rm}=\bf I\rm+\bf A\rm+\frac{1}{2}\bf A\rm^2+\frac{1}{6}\bf A\rm^3+\cdots+\frac{1}{n!}\bf A\rm^n+\cdots$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　関連公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\exp{(\bf P\rm\bf X\rm\bf P\rm^{-1}})=\bf P\rm\exp{(\bf X\rm)}\bf P\rm^{-1}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $det(\exp{(\bf X\rm)})=\exp{(tr\bf X\rm)}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\exp{(\bf X\rm+\bf Y\rm)}=\exp{(\bf X\rm)}\exp{(\bf Y\rm)}\hspace{20mm}\mbox{when}\hspace{20mm}\bf X\rm\bf Y\rm=\bf Y\rm\bf X\rm$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\exp{(-\bf X\rm)}=\exp{(\bf X\rm)}^{-1}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\frac{\partial}{\partial t}\exp{(t\bf X\rm)}=\bf X\rm\exp{(t\bf X\rm)}$ 例示　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\exp(\left( a \:\: 0 \\ 0 \:\: b \right))=\left( e^a \:\: 0 \\ 0 \:\: e^b \right)$ $\hspace{40mm}\exp(\left( a \:\: 1 \\ 0 \:\: a \right))=\left( e^a \:\: e^a \\ 0 \:\: e^a \right)$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\exp(\left( a \:\: -b \\ b \:\: a \right))=\exp(a)\left( \cos b \:\: -\sin b \\ \sin b \:\: \cos b \right)$ $\hspace{40mm}\exp(\left( 0 \:\: -b \\ b \:\: 0 \right))=\left( \cos b \:\: -\sin b \\ \sin b \:\: \cos b \right)$ (2)変換Ｕ : 次項で説明するヤン・ミルズ場の変換行列Ｕは、次のような内容を意味する。（ T^a = (1/2)σ^a ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $U=\exp[i\omega^aT^a]$ $\hspace{25mm}=a\bf B\rm}+ib\bf C\rm$ $\hspace{25mm}=\exp[\frac{i}{2}(\omega^1\sigma^1+\omega^2\sigma^2+\omega^3\sigma^3)]$ $\hspace{25mm}=\exp[\frac{i}{2}\{\omega^1\left(0 \:\: 1 \\ 1 \:\: 0 \right)+\omega^2\left(0 \:\: -i \\ i \:\: 0 \right)+\omega^3\left(1 \:\: 0 \\ 0 \:\: -1 \right)\}]$ $\hspace{25mm}=\exp[\frac{i}{2}\left(\omega^3 \hspace{60mm} \omega^1-i\omega^2 \\ \omega^1+i\omega^2 \hspace{15mm} -\omega^3 \right)]$ $\hspace{25mm}\simeq\left(1+\frac{i}{2}\omega^3 \hspace{65mm} \frac{i}{2}(\omega^1-i\omega^2) \\ \frac{i}{2}(\omega^1+i\omega^2) \hspace{20mm} 1-\frac{i}{2}\omega^3 \right)$ $\mbox{(if\:\:\omega^i\:\:small)}$ 　　　

(b)ヤン・ミルズ場

ヤン・ミルズは、β崩壊を起こす弱い力の理論を作ろうとして、陽子・中性子の質量がほぼ等しい、すなわちそれらは互いに変換し合うものと考え、４次元時空とは別に、内部空間での位相変換を理論に取り込んだ。これをSU(2)ヤン・ミルズ場という。
これは、電子が内部空間であるスピン空間でスピンの第３成分±1/2のスピンを有し互いに変換し合うことと同じである。前項（a)＜参考１＞で示したように、内部空間の変換は、exp{-iθ_zσ_z/2}の形で表されるが、これを参考にして、ヤン・ミルズ場を構築する。

ヤン・ミルズ場では、スピンの２つの成分を考える代わりに、アイソスピン空間と呼ばれる内部空間で、陽子・中性子のようにフェルミオンを含む２つの成分を考える。すなわち、
　　　　　　　　 $\psi(x)=\left(\phi_1(x) \\\phi_2(x)\right)$
但し、φ₁,φ₂ は通常の４成分のディラック場（粒子場）であるが、これを２重項という。（発想の原点は、アイソスピン+1/2を陽子・アイソスピン-1/2を中性子として区別するものである。アイソスピンは、陽子・中性子の区別だけでなく、一般的にフェルミオンの２つの成分を区別する。）

ここで、ψの２つの成分を混合する変換Ｕを次のように定義する。(ここで、a=１～3 で、ローマ字 a についても和をとる。）
　　　　　　　　 $\psi^{'}(x)=U\psi(x)$
　　　　　　　　 $\hspace{40mm}U=e^{i\omega^aT^a} \hspace{100mm}(U^{\dagger}=e^{-i\omega^aT^a}\hspace{20mm}U^{\dagger}U=I)$
　　　　　　　　 $\hspace{40mm}[T^a,T^b]=i\epsilon_{abc}T^c \hspace{50mm}T^a\equiv\frac{1}{2}\sigma^a$
ここに、σ^aはパウリ行列、ε_abcはレビ・チビタ記号、T^aはSU(2)の生成演算子である。

尚、ψを３成分とし、a=1～９としたものを SU(3) と言う。以下では、SU(2)について説明するが、本質的には、SU(3)でも同じである。

このような内部空間の座標の回転Ｕ=exp{iω^aT^a} を用いて、以下の変換を行う。（ゲージ場をW_μ(W_μ¹,W_μ²,W_μ³) とする。）
　　　　　　　　 $\psi\rightarrow \psi^{'}_{\mu}=U\psi=e^{i\omega^aT^a}\psi \hspace{100mm}\hspace{80mm}(U=e^{i\omega^aT^a})$
　　　　　　　　 $\partial_{\mu}\rightarrow D_{\mu}=\partial_{\mu}+ig(W_{\mu}^aT^a)$ $\hspace{140mm}W_{\mu}^aT^a=\bf W\rm_{\mu}\cdot\bf T\rm=(1/2)\bf W\rm_{\mu}\cdot\bf \sigma\rm^$
　　　　　　　　 $W_{\mu}^aT^a\rightarrow W'_{\mu}^aT^a=U(W_{\mu}^aT^a)U^{\dagger}+\frac{i}{g}(\partial_{\mu}U)U^{\dagger}$
　　　　　　　　 $\hspace{40mm}(ie)\hspace{20mm}W_{\mu}^a\rightarrow W'_{\mu}^a=W_{\mu}^a-\frac{1}{g}\partial_{\mu}\omega^a+\epsilon_{abc}W_{\mu}^b\omega^c$ $=W_{\mu}^a-\frac{1}{g}\partial_{\mu}\omega^a+\bf W_{\mu}\rm \times \bf\omega\rm$
尚、共変微分の変換は、次のようにも書ける。
　　　　　　　　 $D{'}=UDU^{\dagger}$
ゲージ場 W_μ^aの強さ F_μν^a（ a=1～3)は、電磁場の強さ F_μν=∂_μA^ν－∂_νA^μ に対応するものとして、共変微分を用いて、

　　　　　　　　 $\mathcal{F}_{\mu\nu}=D_{\mu}\mathcal{W}_{\nu}-D_{\nu}\mathcal{W}_{\mu}=\partial_{\mu}\mathcal{W}_{\nu}-\partial_{\nu}\mathcal{W}_{\mu}+ig[\mathcal{W}_{\mu},\mathcal{W}_{\nu}]$ $\hspace{60mm}(\mathcal{F}_{\mu\nu}=F_{\mu\nu}^aT^a\:\:{,}\:\:\mathcal{W}_{\mu}=W_{\mu}^aT^a)$
　　　　　　　　 $\hspace{40mm}(ie)\hspace{20mm}F_{\mu\nu}^a=D_{\mu}W_{\nu}^a-D_{\nu}W_{\mu}^a$
　　　　　　　　 $\hspace{40mm}(or)\hspace{20mm}F_{\mu\nu}^a=\partial_{\mu}W_{\nu}^a-\partial_{\nu}W_{\mu}^a-g\epsilon_{abc}W_{\mu}^bW_{\nu}^c$ $=\partial_{\mu}W_{\nu}^a-\partial_{\nu}W_{\mu}^a-g\bf W_{\mu}\rm \times \bf W\rm_{\nu}$

を追加して、以下の局所対称性を有するラグランジアン密度が得られる。

　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi-\frac{1}{4}F^{a}_{\mu\nu}F^{a}^{\mu\nu}-g\bar{\psi}\gamma^{\mu} W_{\mu}^aT^a\psi$ $\hspace{80mm}\mathcal{L}_{YM}=-\frac{1}{4}F^{a}_{\mu\nu}F^{a}^{\mu\nu}=-\frac{1}{2}Tr(\mathcal{F}_{\mu\nu}\mathcal{F}^{\mu\nu})$

ここで導入された $\mathcal{L}_{YM}$ を、ヤン・ミルズ場という。（尚、U(1)変換の時はアイソスピン空間ではないので、 T^aがなくなり、電磁場で考えた関係式となる。）



                  ＜補足１＞ SU(2)変換の関係式

                           
                        ① 内部空間での回転を表すＵとＵ^†の関係は、σ^aがパウリ行列であることを考慮し、T²=iT²'と置くと、(T²')^t=-T²'であるから、
                　　　　　　　　　　　　
                　　　　　　　　　　　　
                           すなわち、A^†=-Aであるから、
                　　　　　　　　　　　　
                　　　　　　　　　　　　

                        ② これが行列計算であることが感覚的に分かるように説明してみよう。内部座標の回転は、微小回転の関係が成り立てばよいので、
　　　　　　　　　　　　　 微小なωに対して、Ｕは次式で表される。
                　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　 従い、前項(a)＜参考2＞(2)で示したように具体的に行列で書くと、その複素共役が次式となることは容易に分かるであろう。
                　　　　　　　　　　　　
                           ωが微小であることから、２次以上の項（ex (ω¹)², ω¹×ω² 等）は無視できるので、次のように、UU^† = I 且つ det(U)=1 で
                           あることが分かる。即ち、Ｕは特別(detU=1)なユニタリー行列U(2)　ie  Special Unitary Matrix SU(2)であるということである。
                　　　　　　　　　　　　
                　　　　　　　　　　　　

                           
                        ③ パウリ行列を具体的に計算してみれば分かることであるが、σ^a,σ^b は可換ではない。すなわち、
                　　　　　　　　　　　　
                　　　　　　　　　　　　　　　　　
                           従い、T^a=(1/2)σ^aであることより、
                　　　　　　　　　　　　

                           このように、互いに交換しないものを含む生成子（例えば、この例ではＴ^a)によって定義されるゲージ変換
　　　　　　　　　　　　　 の下で不変であるようなゲージ理論を非可換ゲージ理論という。


                  ＜補足２＞ ゲージ場の変換式とヤン・ミルズ場の対称性

                           
                         ① ゲージ変換 W'_μ^aT^a=UW_μ^aT^aU^†+(i/g)(∂_μU)U^† は次のように導かれる。

                            前項(a)②局所的ゲージ変換＜参考＞（U(1)として説明）で示したように、SU(2)に対しても、次の関係が成り立てば、
　　　　　　　　　　　　　　ラグランジアン密度の運動項  の対称性が保てる。
              　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　従い、D_μ=∂_μ+igW_μ^aT^a と置くと、
                　　　　　　　　　　　
                　　　　　　　　　　　
                            上２式の右辺を比較し整理すると、いま求める関係が得られる。
                　　　　　　　　　　　



                          　

                         ② また、ゲージ場の変換　W'_μ=W_μ+(1/g)∂_μω-ε_abcW_μω^c は、次のように導かれる。

　　　　　　　　　　　　　　U=e^iω とすると、
              　　　　　　　　　　　　 
                            と置けるのであったから、UU^†=I を使い、ωの微小回転を考えるので、ωの２次以上の項は０と置いて、             　　　　　　　
                            　　　　　
                            　　　　　
                            　　　　　
                            ところで、Tⁱ=σⁱ/2 は行列であるが、ωⁱ,W_μⁱはスカラーであるから、これらはどこにおいてもよいから、
                            　　　　　
                            　　　　　
                            同様に、
                            　　　　　
                            であるから、パウリ行列の性質 [σⁱ,σ^j]=σⁱσ^j-σ^jσⁱ=2ε_ijkiσ^k を使って、
                            　　　　　
                                      
                            従って、 
                            　　　　　
                            　　　　　                         
                            アインシュタインの和の規約を使って書き直すと、
                            　　　　　                         
                            


                         ③ 場の強さ F_μν と 場の強さのラグランジアン密度 L_G およびその対称性は、次のように導かれる。

              　　　　　　　ゲージ場の強さを、電磁場の強さを参考にして、以下のように表した。
                　　　　　　　　
                            　　 
　　　　　　　　　　　　　　ところで、②で計算したように、
                            　　   
 
                            のように変形できるから、                            
                            　　
                                   
 
                            従い、最初の式に代入して、F_μν は次のように表すことができる。
                　　　　　　　　
                　　　　　　　　


                            
                            D_μ=∂_μ+igW_μ^aT^a であるから、D_μ,D_ν　の交換関係は、[σⁱ,σ^j]=2iε^ijkσ^k 及び　ここで導いた F_μν^a を使って、　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
                            従い、D'_μ=UD_μU^† を使って、F_μνU^aT^a は、次のような変換を受ける。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
                                      
                            電磁場と同様に、このゲージ場に対応するラグランジアン密度を、
                            　　　　　                         
                            と置けば、
                            　　　　　                         
                            となり、ゲージ変換に対し不変ではない。しかし、行列 A 、ユニタリー行列Ｕ(UU^†=UU^－=I,U^†=U^－）に対しトレースは、
                            Tr(UAU^－)=Tr(UAU^†)=Tr(A)であるから、ラグランジアン密度として、その行列のトレースに置き換えると、
                            　　　　　                         
                            ゲージ変換に対し不変なラグランジアン密度となる。

　　　　　　　　　　　　　　具体的にトレースを求めるために、行列を計算すると、
                            　　　　　                       
                            であるから、
                            　　　　　                       
                            　　　　　                       
                            　　　　　                       
                            となり、
                            　　　　　
                                                             
                            最終的に、電磁場のラグランジアン密度と同じ形になるように係数を以下のように設定すると、

この理論の意味するところは、２つの粒子（例えば陽子と中性子）がアイソスピン空間と呼ばれる内部空間（電子のスピン空間に相当）にあって、アイソスピン第３成分Ｔ³によって区別されるように作られているということである。

                  ＜参考＞ 西島ゲルマンの関係（電荷Ｑ・アイソスピンＴ³・ハイパーチャージY)

                           
                           今、陽子p、中性子ｎからなる２重項ψを次のように書くと、パウリ行列σ³は下右のような行列であるから、
                　　　　　　　　　　　　  
 
                           アイソスピンは、以下に見るように、Ｔ³を固有状態にとり、１重項なら０とする。従い、陽子のアイソスピンは 1/2、
                           中性子のそれは－1/2 となる。
                　　　　　　　　　　　　        
　　　　　　　　　　　　　 ２重項の作り方で上下を逆にすれば、Ｔ³は符号が逆になる。このような関係はクォーク２重項（u,d)でも同様である。
 
                           弱い相互作用が働く素粒子の持つ量子数が弱アイソスピンと言われ、弱い力との相互作用のし易さ（荷量）でもあるため、
　　　　　　　　　　　　　 弱荷とも呼ばれる。これに対し、強い相互作用（アイソスピン）に対する色荷（色の３原色を模し赤・青・緑と呼ぶ）、
                           電磁相互作用に対する電荷、重力相互作用に対する質量に相当する。
                                                                 



　　　　　　　　　　　　　 上に示したのは、２重項での SU(2) 変換の生成子がアイソ
                           スピンＴ³と呼ばれるのに対し、１重項での U(1)変換の生成
                           子Ｙをハイパーチャージ(超電荷）と呼び、電磁場での U(1) 
                           変換の生成子Ｑ（これを電荷と呼ぶ）との関係は、以下の如
                           くで、西島ゲルマンの関係と呼ばれる。
                　　　　　　　　　　　　 
　　　　　　　　　　　　　 この関係は、余りにも多く発見された粒子を右図（バリオン
　　　　　　　　　　　　　 の例）のように整理すると、きれいに纏められることからき
                           ている。





　　　　　　　　　　　　　 特に弱い相互作用での関係、例えば左巻き電子ニュートリノ・電子の２重項ψ_L（ψ_νe,ψ_e)と、右巻き電子の１重項で
                           電子の場を作ると、上と同じSU(2)変換が出てくるので同様の結論が得られる。
                           すなわち、弱アイソスピンＴ³は、この例では電子ニュートリノが 1/2、電子が－1/2 となる。
                           従い、弱ハイパーチャージは、電子の電荷 Q=－1、電子ニュートリノの電荷 Q= 0 ゆえ、次のようになる。
                                        ＜左巻き電子＞　　　       
                                        ＜左巻き電子ﾆｭｰﾄﾘﾉ＞　　　 
                           
                                        ＜右巻き電子＞

このように内部空間として２×２のユニタリー変換 SU(2)で理論を構成すれば、弱い力を表すウィークボゾン（２×２行列の自由度4-1=3より３種のボゾンie Ｗ^±,Ｚ⁰が導入される）および、３×３のユニタリー変換 SU(3)で理論を構成すれば、強い力を表す グル―オン（３×３行列の自由度9-1=8より８種のグル―オンが導入される）で、素粒子に働く力を説明する理論が出来上がる。

(4)ヒッグス場理論（質量項の禁止とヒッグス場の導入）

	ボゾン質量	フェルミオン質量	全系（含む相互作用・ヒッグス場）
ゲージ場＜Higgs機構＞	$\mathcal{L}_{total}=\mathcal{L}_{Fermion}+\mathcal{L}_{Gauge}+\mathcal{L}_{Higgs}$ $\hspace{40mm}=\bar{\Psi}i\gamma^{\mu}D_{\mu}\Psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ $\hspace{60mm}+\|D_{\mu}(\phi)\|^2-V(\phi)$ $\hspace{80mm}\Downarrow$ ＜獲得質量＞ $\hspace{20mm}m_{Boson}=\frac{gv}{2}\hspace{20mm}m_{Higgs}=\sqrt{2\lambda}v$ $\hspace{40mm}v=<\phi>_0\:\:\:\:{:}\:\:\:\:$ ${Vacuum\:\:Expectation\:\:Value}$	$\mathcal{L}_{total}=\mathcal{L}_{Fermion}+\mathcal{L}_{Gauge}+\mathcal{L}_{yukawa}+\mathcal{L}_{Higgs}$ $\hspace{40mm}=\bar{\Psi}i\gamma^{\mu}D_{\mu}\Psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ $\hspace{60mm}+\bar{\Psi}y\Psi\phi+\|D_{\mu}(\phi)\|^2-V(\phi)$ $\hspace{80mm}\Downarrow$ ＜獲得質量＞ $\hspace{20mm}m_{Boson}=\frac{gv}{2}\hspace{20mm}m_{Higgs}=\sqrt{2\lambda}v$ $\hspace{20mm}m_{Fermion}=\frac{yv}{\sqrt{2}}$ $\hspace{40mm}v=<\phi>_0=\sqrt{\frac{\mu^2}{\lambda}}\:\:\:\:{:}\:\:\:\:$ ${Vacuum\:\:Expectation\:\:Value}$	$\mathcal{L}_{total}=\mathcal{L}_{Fermion}+\mathcal{L}_{Gauge}+\mathcal{L}_{yukawa}+\mathcal{L}_{Higgs}$ $\hspace{40mm}=\bar{\Psi}i\gamma^{\mu}D_{\mu}\Psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ $\hspace{60mm}+\bar{\Psi}y\Psi\phi+\|D_{\mu}(\phi)\|^2-V(\phi)$ 詳しく書けば $\mathcal{L}_{total}=\mathcal{L}_{Fermion}+\mathcal{L}_{Gauge}+\mathcal{L}_{yukawa}+\mathcal{L}_{Higgs}$ $\hspace{20mm}\mathcal{L}_{Fermion}=\bar{\psi}_Li\gamma^{\mu}D_{}\mu\psi_L$ $\hspace{100mm}+\bar{\psi}_Ri\gamma^{\mu}D_{\mu}\psi_R$ $\hspace{20mm}\mathcal{L}_{Gauge}=-(1/4)F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ $\hspace{20mm}\mathcal{L}_{yukawa}=-y(\bar{\psi}_L\phi\psi_R+\bar{\psi}_R\phi^{\dagger}\psi_L)$ $\hspace{20mm}\mathcal{L}_{Higgs}=(D_{\mu}\phi^)^{\dagger}(D_{\mu}\phi)-V(\phi^{\dagger}\phi)$ 　　　　　　　　　 $\hspace{60mm}V(\phi^{\dagger}\phi)=-\mu^2\phi^{\dagger}\phi+\lambda(\phi^{\dagger}\phi)^2$ 　　　　　　　　　 $\hspace{20mm}\psi_L\equiv(1/2)(1-\gamma^5)\psi$ 　　　　　　　　　 $\hspace{20mm}\psi_R\equiv(1/2)(1+\gamma^5)\psi$ 　　　　　　　　　 $\hspace{20mm}D_{\mu}=\partial_{\mu}+igA_{\mu}$

      [注] 波動関数の変換 e^±iω 、共変微分 D_μ＝∂_μ±igA_μ の符号次第では次のように、ゲージ場変換 A'_μ=A_μ±(1/g)∂_μω、ゲージ場との相互作用
          （ネーターカレント）の符号が変わる。
　　　　　　　　　　　　        
　　　　　　　　　　            
　　　　　　　　　　            
　　　　　　　　　　            
           この扱いは、ネーターカレントJ_μを用いた、ゲージ場A_μとの相互作用項の符号のどちらを採用するかの問題であり、教科書
　　　　　 又は扱う場により様々である。本サイトでは統一的に書けておりませんので注意深く読んで下さい。

(a)対称性と質量

①局所的ゲージ対称性とボゾン質量の禁止

ヤン・ミルズ場のラグランジアン密度を構築する際、粒子場にゲージ場の運動項を追加した。もし、ゲージ場 A_μ の運動項に対応した粒子が質量m_Aを持つならば、更に次の質量項をも追加する必要があろう。
　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{mass}=\frac{1}{2}m^2_A A_{\mu}A^{\mu}$

　　　　　　　　　　　　　　　　＜参考＞　自然単位系での各物理量の次元と質量項

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自然単位系(c=1,；[L]=[T] & [M]=[L]^－1=[T]^－1)では、すべての量は質量の次元 [M] で表され、
                　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
 
                　　　　　　　　　　　　　且つ、
                                              　　　　
 
                                          であるから、素電荷 e の次元は無次元である。すなわち、
                                              　　　　

 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　このことから、に現れる、電磁場を始めとするゲージ場A_μで表される A_μA^μの項の係数Ｋは [M]²の次元
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を持つ、すなわちＫは、質量 m_Aを表し、KA_μA^μは(1/2) m_A²を表す。同様に、粒子場ψで表される の項の
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　係数Ｋ’は [M]¹の次元を持つ、すなわちＫ’は、質量 m を表す。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

                                          但し、ＫまたはＫ’に含まれる係数 1/2 または 1 は、以下に示す、スピン０・質量ｍのスカラー場φを扱う
                                          クライン・ゴルドン方程式、スピン１・質量ｍのベクトル場Ａ_μを扱うプロカ方程式(m=0ならマックスウェル
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　方程式となる）、または粒子場ψを扱うディラック方程式を導くラグランジアン密度の式に倣っている。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
 
                                          


                                          すなわち、質量項は、

局所的ゲージ変換の説明でラグランジアン密度がゲージ変換で不変であることは既に見たが、ゲージ場A_μに対する $\mathcal{L}_{mass}$ は、局所的ゲージ変換では∂_μω≠ 0 であるから、A_μが電磁場の場合、
　　　　　　　　 $A^{'}_{\mu}A^{'}^{\mu}=(A_{\mu}-\frac{1}{g}\partial_{\mu}\omega)(A^{\mu}-\frac{1}{g}\partial^{\mu}\omega)$ $=A_{\mu}A^{\mu}-\frac{1}{g}(A_{\mu}\partial^{\mu}\omega+A^{\mu}\partial_{\mu}\omega)+\frac{1}{g^2}(\partial_{\nu}\omega)(\partial^{\nu}\omega)\neq A_{\mu}A^{\mu}$
となり、ゲージ場の質量項があるとラグランジアン密度はゲージ不変ではない。（A_μがヤンミルズ場すなわちW_μ^aの場合、 W_μωが付くがこの関連項も０とはならず、ゲージ不変ではない。）

すなわち局所的ゲージ対称性を要請すると、ゲージ場の質量は０でなければならない。

電磁場のゲージ粒子 ie 光子の質量が０であることは問題ないが、ウィークボゾンなどは質量を有するため、ヤン・ミルズ場のラグランジアン密度は見直さなければならない。

②カイラル対称性とフェルミオン質量の禁止

                      ＜参考1＞　ヘリシティー（螺旋を意味する）
                             
                             スピンの回転軸の運動量方向の射影をヘリシティという。

　　　　　　　　　　　　　　 質量を持たない粒子を考える。この粒子の運動方程式は、、m=0 と置いたディラック方程式 Hψ＝Eψ(但しH＝cα・ｐ)
　　　　　　　　　　　　　　 から次の式が得られる（これをワイル方程式という）。満たすべき条件は α_iα_j+α_jα_i=δ_ijであるが、パウリ行列が 
　　　　　　　　　　　　　　 σ_iσ_j+σ_jσ_i=δ_ijであったからα_i＝±σ_iに対して、２つの式が得られる。すなわち、４成分スピノールψをψ(ψ_L,ψ_R)
                             として 、
                            　　　　　               
                             この平面波解は、ψ_iならば、
                            　　　　　
                             であるから、上式に代入して、
                            　　　　　
                             E_p=cp₀=c|p|＜相対論 E²=(cp₀)²+m²c⁴、４元ベクトル(E/c,p_x,p_x,p_x）参照＞であるから、
                            　　　　　
                                       
                             演算子ｈを以下のように定義すると、演算子ｈは固有値 ( or 単に－1/2 )を有する。
　　　　　　　　　　　　　　 このことを正のエネルギーを粒子は－1/2のヘリシティを有するという。
                            　　　　　
                             負のエネルギーを持つ場合は、p₀=-|p|であり、且つ反粒子と考えることで運動量も－pとなる
　　　　　　　　　　　　　　 から、次式が得られる。すなわち、u_Lの負のエネルギーにたいしてはヘリシティは＋1/2となる。
                            　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　 これらをイメージ的に表すと、ヘリシティ演算子 h は、スピン軸の運動量方向への射影を意味し、
                             正のエネルギーを持つψ_Lは、進行方向に向かって左巻きに自転していると考えられる。
　　　　　　　　　　　　　　 ψ_Rは、これと逆になり、正のエネルギーを持つψ_Rは右巻きに自転している。
                                                                 

                             質量を持つ粒子は高速以下の速度であるから、静止系でｖで移動する粒子より早い座標系で見ると
　　　　　　　　　　　　　　 スピンの回転軸ベクトルは変わらないが、運動量ベクトルが逆向きとなるので、ヘリシティがり、
　　　　　　　　　　　　　　 変わってしまう。すなわちヘリシティは不変ではなくなる。一方、光子のように質量０の粒子は光速
　　　　　　　　　　　　　　 で移動するので、どの座標系からみてもヘリシティは不変である。


                      ＜参考２＞カイラリティ (両掌の関係 ie 鏡像関係を意味する）
                             
                             質量を有する粒子の運動方程式は、質量０の粒子の波動関数ψ_L,ψ_Rを使って、同様にして、                          
                            　　　　　 
                            　　　　　 
                             このように、質量を有する粒子は、右巻きと左巻きのヘリシティが混じったものとなる。

　　　　　　　　　　　　　　 γ行列として、カイラル表現（ワイル表現）を用いると、ψ_L,ψ_Rは次式で取り出すことができる。
                            　　　　　     
                            　　　　　
                            　　　　　  
                             ここに、(1/2)(1±γ⁵)を射影演算子という。
　　　　　　　　　　　　　　  
　　　　　　　　　　　　　　 更に、演算子γ⁵を使えば、次の関係が得られ、このγ⁵の固有値±1をカイラリティという。
                            　　　　　     
　　　　　　　　　　　　　　 
                             質量を有する粒子のヘリシティは、観測する座標系次第で正にも負にもなるが、カイラリティは相対論的に不変である。
　　　　　　　　　　　　　　 一方、質量ゼロの粒子のヘリシティは上に述べたように観測する座標によらず不変であり、且つカイラリティも不変である。
　　　　　　　　　　　　　　 すなわち、カイラリティとは、相対論的に不変な物理量であり、ヘリシティの相対論的拡張である。

　　　　　　　　　　　　　　 カイラル変換とは、次のような変換を言い、この変換に対してラグランジアン密度が不変であることをカイラル対称性という。　
                            　　　　　  
　　　　　　　　　　　　　　 座標の回転は微小回転の重ね合わせであることは既に述べた。カイラル変換の微小回転は、次式で表され、
                            　　　　　  
　　　　　　　　　　　　　　 従い、ψ_L,ψ_Rに対し、回転角は逆符号でなければならない。従い、カイラル変換は次のようにも書ける。

(b)ヒッグス機構（ボゾン・フェルミオンの質量）

このような対称性の議論から、フェルミオン・ボゾンに質量を持たせるために導入されたものがヒッグス場の理論である。

①スカラー場（ヒッグス粒子）

このような場としてスカラー場を考える。スカラー場では、E²=c²p²+m²c⁴であるから、この式で微分演算子を適用すると、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $(i\bar{h}\frac{\partial}{\partial t})^2=m^2c^4+c^2(-i\bar{h}\nabla)^2$
これを整理すると、次のクライン・ゴルドン方程式を得る。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\{\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partia t^2}-\nabla^2+(\frac{mc}{\bar{h}})^2\}\phi=0$
アインシュタインの和の規約を用い、自然単位系で書き直すと、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $(\partial_{\mu}{\partia^{\mu}-m^2)\phi=0$
この方程式を与えるラグランジアン密度は、φを実スカラー場として、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2$
以上は、運動項および質量項のみからなる自由スカラー場のラグランジアン密度である。

一方、運動項およびポテンシャル項V(φ）から成るラグランジアン密度を考え、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-V(\phi)$
ポテンシャルV(φ）を冪級数で展開すると、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $V(\phi)=\frac{g_2}{2!}\phi^2+\frac{g_3}{3!}\phi^3+\frac{g_4}{4!}\phi^4+\:\cdots$
1次の項はφの再定義で消去でき、φ³以上の項は相互作用（ex φ³の項は2つのφが衝突し１つのφを生ずる、またはその逆）を表すが、奇数項は空間反転 ie φ→－φに対する対称性の要請より消え、さらに、繰り込み可能性を課せば、４次元時空ではφの４次までしか現れない。
g₂=－μ²、g₄=λと置き換えると、以下のラグランジアン密度を得る。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi+\frac{1}{2}\mu^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4 \hspace{40mm}V(\phi)=-\frac{1}{2}\mu^2\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4$
今、－μ²を質量 m (この場合　μ²＞０）と見なすと、このラグランジアン密度は、運動項および質量項のみからなる自由スカラー場のラグランジアン密度
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=(1/2)\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-(1/2)m^2\phi^2-(\lambda/4!)\phi^4$
を再現している。

このラグランジアン密度を用いて論ずる理論を、φ⁴理論という。このポテンシャルは、微分すれば分かるように、φ＝±ｖで最小値を２つ持つ。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\frac{\partial V}{\partial\phi}=-\mu^2\phi+\frac{\lambda}{\3!}\phi^4 \hspace{10mm}\rightarrow\hspace{10mm}\phi=0\:\:\:{or}\:\:\:\phi=\pm\sqrt{\frac{6}{\lambda}}\mu\equiv\pm v\equiv \phi_0$
この最小値を与えるφ₀は、場の基底状態であり、この基底状態は真空期待値＜φ＞₀で表される。(また、下式括弧内は、±ｖに対する真空を示す）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $<0|\phi|0>=<\phi>_0=\pm v$ $\hspace{40mm}(\hspace{5mm}<0_{+}|\phi|0_{+}>=v \hspace{5mm}{,}\hspace{5mm} <0_{-}|\phi|0_{-}>=-v\hspace{5mm})$
ここで、演算子としてのφの変換を Z^-1φZ=－φとしたとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $<0_{+}|Z^{-1}\phi Z|0_{+}>=-<0_{+}|\phi|0_{+}>=-v\neq <0_{+}|\phi|0_{+}>$
このように、真空期待値＜0₊｜φ｜0₊＞はラグランジアン密度の持つφ→－φの対称性を持っていない。
そこで、最小値周りを考え、真空の期待値ｖからのずれ（ゆらぎ）を摂動的にφに加え、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\phi(x)=v+\sigma(x)$
これをラグランジアン密度に代入すると、基底状態近傍でのラグランジアン密度が次のように求まる。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}(v+\sigma))^2+\frac{1}{2}\mu^2(v+\sigma)^2-\frac{\lambda}{4!}(v+\sigma)^4=\:\cdots\:=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\sigma)^2$ $-\frac{1}{2}(2\mu^2)\sigma^2$ $-\sqrt{\frac{\lambda}{6}}\mu\sigma^3-\frac{\lambda}{4!}\sigma^4+const(v)$
すなわち、φの２乗項＜φ＝|φ₀|＋σ＝ｖ＋σと置いているから (1/2)m²φ² ←→(1/2)m²σ²＞である質量項の係数より、スカラー場（スカラー粒子）が質量 m =(2μ)² を持つことが分かる。更に元々のラグランジアン密度での場の変換φ→－φ（近傍ではσ→－σ）に対する対称性を持っていない。このように元々持っていた対称性がなくなる (見えなくなる）ことを、自発的対称性の破れという。

以上の議論を、大局的ゲージ対称性を有する複素スカラー場に拡張する。ラグランジアン密度、複素スカラー場、大局的ゲージ変換は以下の通りとする。(φ^*はφの共役複素数）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=(\partial_{\mu}\phi)(\partial^{\mu}\phi^{*})+\mu^2\phi^{*}\phi-\lambda(\phi^{*}\phi)^2 \hspace{80mm}V(\phi^{*}\phi)=-\mu^2\phi^{*}\phi+\lambda(\phi^{*}\phi)^2$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1(x)+i\phi_2(x)) \hspace{100mm}\hspace{80mm}\phi^{*}(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1(x)-i\phi_2(x))$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\phi(x)\rightarrow \phi^{'}=e^{i\alpha}\phi$

実スカラー場の時と同様にして、ポテンシャルの最小値を与えるφ₀は、次の関係にある。
（右図参照）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $|\phi_0|^2=\frac{1}{2}(\phi_1^2+\phi_2^2)=\frac{\mu^2}{2\lambda} \hspace{80mm}\phi_1^2+\phi_2^2=\frac{\mu^2}{\lambda}\equiv v^2$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\phi_0=\frac{1}{\sqrt{2}}ve^{i\theta} \hspace{40mm}(|\phi_0|^2=\frac{1}{2}v^2=\frac{1}{2}(\phi_1^2+\phi_2^2))$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $<0_{\theta}|\phi|0_{\theta}>=\frac{1}{\sqrt{2}}ve^{i\theta}$
すなわち、複素平面の任意の角θ（連続的な数）によって真空は区別され、θ₁≠θ₂なら、
＜0_θ1｜φ｜0_θ2＞=0となり（真空が無限個に縮退）、基底状態はポテンシャルの底の半径ｖ
の円に沿って無限に存在する。
そこで、基底状態の位置をφ₁=+v、φ₂=0 と選び、そこからのずれを２つの実数場η(x),ξ(x)
として、摂動的に加え、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1(x)+i\phi_2(x))$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{40mm}=\frac{1}{\sqrt{2}}[(<\phi_1>_0+\eta(x))+i(<\phi_2>_0+\xi(x)]=\frac{1}{\sqrt{2}}(v+\eta(x)+i\xi(x))$
として、上のラグランジアン密度に代入して、(v²=μ²/λに留意）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=(\partial_{\mu}\phi)(\partial^{\mu}\phi^{*})+\mu^2\phi^{*}\phi-\lambda(\phi^{*}\phi)^2=\:\cdots\:$
$\hspace{100mm}\hspace{80mm}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\eta)^2+\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\xi)^2$ $-\frac{1}{2}(2\mu^2)\eta^2$ $-\frac{1}{2}\lambda\xi^2\eta^2$ $-\lambda\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\mu\eta\xi^2-\lambda\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\mu\eta^3-\frac{\lambda}{4}\eta^4-\frac{\lambda}{4}\xi^4+const(v)$
ところで、この複素スカラー場でのクライン・ゴルドン方程式を導くラグランジアン密度は、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=(\partial_{\mu}\phi)(\partial^{\mu}\phi^{*})-m^2\phi\phi^{*}=(\partial_{\mu}\phi)(\partial^{\mu}\phi^{*})-m^2\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1+i\phi_2)\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1-i\phi_2)$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{20mm}=(\partial_{\mu}\phi)(\partial^{\mu}\phi^{*})-\frac{1}{2}m^2\phi_1^2-\frac{1}{2}m^2\phi_2^2$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{20mm}=\{\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi_1)(\partial^{\mu}\phi_1)-\frac{1}{2}m^2\phi_1^2\}+\{\frac{1}{2}{(\partial_{\mu}\phi_2)(\partial^{\mu}\phi_2)-\frac{1}{2}m^2\phi_2^2\}$
であるから、質量項があるとすれば、φ₁の２乗項すなわちηの２乗項（　φ₁＝|＜φ₁＞₀|＋ηと置いているから (1/2)m²φ₁² ←→(1/2)m²η² ）である質量項の係数より、場η（これをヒッグス場またはヒッグス粒子という）は質量(2μ²)^-1/2を持ち、場ξは、ξ²のみの項がない（ηと混ざった項しかない）ので、質量を持たない。つまり、質量を持つ場と質量を持たない場が作られることになる(その質量０のスカラー場ξを南部・ゴールドストーンボゾンという）。さらに、近傍のラグランジアン密度から大局的ゲージ不変性もなくなっている。

②ゲージ場と複素スカラー場の相互作用（ヒッグス機構）

次に、ゲージ場と複素スカラー場の相互作用を考えよう。ゲージ場を電磁場として扱うことにする。
この場合、ディラック場（フェルミオン場）と電磁場の相互作用を考えた時と同様の共変微分を用い、諸量を以下の通りとする。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=(D_{\mu}\phi)(D^{\mu}\phi)^{*}+\mu^2\phi^{*}\phi-\lambda(\phi^{*}\phi)^2-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \hspace{80mm}V(\phi^{*}\phi)=-\mu^2\phi^{*}\phi+\lambda(\phi^{*}\phi)^2$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1(x)+i\phi_2(x))$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $D_{\mu}\phi=\partial_{\mu}+ieA_{\mu}\phi \hspace{80mm}F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\phi(x)\rightarrow \phi^{'}=e^{i\alpha}\phi$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $A_{\mu}\rightarrow A^{'}_{\mu}=A_{\mu}-\frac{1}{e}\partial_{\mu}\alpha$
その結果、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $|\phi_0|^2=\frac{\mu^2}{2\lambda}=\frac{v^2}{2} \hspace{80mm}\phi_1^2+\phi_2^2=\frac{\mu^2}{\lambda}\equiv v^2$
φの摂動も同様にして、(但し、(D^μφ)^*=D^μ^*φ^*、D^μ^*=∂^μ－ieA^μ、∂_μ(η+iξ)∂^μ(η－iξ)=(∂_μη)²+(∂_μξ²)、v²=μ²/λに留意）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=(1/2)(D_{\mu}(v+\eta+i\xi))(D^{\mu *}(v+\eta-i\xi))+(1/2)\mu^2(v+\eta-i\xi)(v+\eta+i\xi)$ $\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{40mm}-(\lambda/4)((v+\eta-i\xi)(v+\eta+i\xi))^2-(1/4)F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\:\cdots\:$
$\hspace{100mm}\hspace{80mm}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\eta)^2+\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\xi)^2+2e(\frac{\mu^2}{\lambda}+\eta)A^{\mu}\partial_{\mu}\xi+$ $\frac{1}{2}e^2(\frac{\mu^2}{\lambda}$ $+\eta^2+2\sqrt{\frac{\mu^2}{\lambda}}+\xi^2)$ $A_{\mu}A^{\mu}$ $\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{40mm}-\frac{1}{2}(2\mu^2)\eta^2$ $-\frac{1}{2}\lambda\xi^2\eta^2-\lambda\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\mu\eta\xi^2-\lambda\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\mu\eta^3$ $-\frac{\lambda}{4}\eta^4-\frac{\lambda}{4}\xi^4+const(v)$
すなわち、場の２乗項のみが質量(1/2m_η²η²、1/2m_A²A_μA^μ）を表すので、ベクトル場 A_μ、スカラー場ηがそれぞれ質量 m_A、 m_η を持つことになり、ξ（南部・ゴールドストーンボゾン）は質量を持たないことが分かる。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $m_A=ev=e\sqrt{\frac{\mu^2}{\lambda}}\hspace{5mm}{,}\hspace{5mm}m_{\eta}=\sqrt{2\mu^2}\hspace{5mm}{,}\hspace{5mm}m_{\xi}=0$ $\hspace{40mm}[note]\hspace{10mm}m_A=\frac{gv}{2}\:\:{when}\:\:e=\frac{g}{2}\:\:(ie)\:\;D_{\mu}=\partial_{\mu}+i\frac{g}{2}A_{\mu}$

スピン０（スカラー場）の質量０の粒子は現実に観測されていない。このξが消せれば、理論的不都合は解消される。このξの消去は、 η,ξ＜＜vなら、つぎのゲージ変換を選ぶことで可能である。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}(v+\eta+i\xi)=\frac{1}{\sqrt{2}}(v+\eta)(1+i\frac{\xi}{v+\eta})\simeq\frac{1}{\sqrt{2}}(v+\eta)(1+i\frac{\xi}{v})\simeq\frac{1}{\sqrt{2}}(v+\eta)e^{i\xi/v}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\phi\rightarrow\phi^{'}=e^{i\alpha}\phi=e^{-i\xi/v}\frac{1}{\sqrt{2}}(v+\eta)e^{i\xi/v}=\frac{1}{\sqrt{2}}(v+\eta) \hspace{20mm}(\alpha=-\frac{\xi}{v})$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $A_{\mu}\rightarrow A^{'}_{\mu}=A_{\mu}-\frac{1}{ev}\partial_{\mu}\xi$
このようなゲージ変換をすると、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=(1/2)\{(\partial_{\mu}+ieA_{\mu})(v+\eta)(\partial^{\mu}-ieA^{\mu})(v+\eta)\}+(1/2)\mu^2(v+\eta)^2$ $\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{40mm}-(\lambda/4)(v+\eta)^4-(1/4)F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=\:\cdots\:$
$\hspace{100mm}\hspace{80mm}=-(1/4)F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+(1/2)(\partial_{\mu}\eta)^2$ $+(1/2)e^2(v^2$ $+\eta^2+2v\eta)$ $A_{\mu}A^{\mu}$
$\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{40mm}-(1/2)(2\mu^2)\eta^2$ $-\lambda v\eta^3$ $-(\lambda/4)\eta^4+const(v)$

すなわち、ゴールドストーンボゾンは消え、ベクトル場とスカラー場が次の質量を持つことが分かる。
（ここでは、ゲージ粒子がヒッグス機構で質量を獲得する道筋を、電磁場を使って説明した。しかし電磁場の量子すなわち光子は質量を持てないので矛盾しているようにみえるが、この辺の事情は、電弱統一理論ですっきり整理される）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $m_A=ev=e\sqrt{\frac{\mu^2}{\lambda}}\hspace{5mm}{,}\hspace{5mm}m_{\eta}=\sqrt{2\mu^2}$ $\hspace{40mm}[note]\hspace{10mm}m_A=\frac{gv}{2}\:\:{when}\:\:e=\frac{g}{2}\:\:(ie)\:\;D_{\mu}=\partial_{\mu}+i\frac{g}{2}A_{\mu}$

このように、ベクトル場は質量を獲得し、かつ質量０の場（南部・ゴールドストーンボゾン）は出てこない。これは、簡単に言うと、南部・ゴールドストーンボゾンの自由度を光子は食べることで縦偏極の自由度を得て質量を作り出していると解釈されている。このようにしてベクトル場(ゲージ場）が質量を得る仕組みのことをヒッグス機構という。ここで質量をもったスカラー場ηのことをヒッグス粒子という。

このように、南部・ゴールドストーンボゾンが出てこない操作を行えばよいことから、複素スカラー場は、最初から次のように表すことでよいことが分かる。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}(v+\eta)\hspace{40mm}{or}\hspace{40mm}\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(v+\eta\\ 0\right)$



                 ＜参考＞ 複素スカラー場の表現

                             複素スカラー場は、以下の２通りの表現が可能である。すなわち、２つの実関数φ₁、φ₂を用いて、
                             複素数の形で表す方法とベクトルのように２つの成分を有する場として表す方法である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 
                             ２つの方法でのラグランジアン密度の表現を対比して描くと次のようになる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   
                             具体的に、ポテンシャルの一部を計算すると、同じ結果を与える。

(c)湯川相互作用（フェルミオンの質量）

粒子場（物質場）ψと、ゲージ場φとの湯川相互作用のラブランジアン密度は、フェルミ相互作用を参考に、次のように導かれた。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{yukawa}=y\bar{\psi}\psi\phi$
ここに、ｙは湯川結合定数といわれるものである。(対称性の要請から得られる項ではない。）

さて、ディラック場のラグランジアン密度は、次の如くであった。(変形 $\bar{\psi}\psi=\psi^{\dagger}_L\psi_R+\psi^{\dagger}_R\psi_L}$ については、本項＜参考２＞参照）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\bar{\psi}i\gamma_{\mu}\partial^{\mu}\psi-m\bar{\psi}\psi=\bar{\psi}i\gamma_{\mu}\partial^{\mu}\psi-m(\psi^{\dagger}_L\psi_R+\psi^{\dagger}_R\psi_L})$
このラグランジアン密度が m≠0のためカイラル変換（「カイラリティ」参照）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\psi\rightarrow\psi^{'}=e^{i\gamma^5}\psi \hspace{40mm}\mbox{or}\hspace{40mm}$ $(\psi_L\rightarrow\psi^{'}_L=e^{-i\lambda}\psi_L$ $\hspace{20mm}\mbox{and}\hspace{20mm}\psi_R\rightarrow\psi^{'}_R=e^{i\lambda}\psi_R)$
に対して不変でないことは既に述べた。ここで、次のような変換を受ける複素スカラー場
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\phi\rightarrow\phi^{'}=e^{-2i\lambda}\phi$ $\hspace{80mm}\phi^{\dagger}\rightarrow\phi^{'}^{\dagger}=e^{2i\lambda}\phi^{\dagger}$
を導入すると、カイラル対称性を保つ相互作用として、以下のようなラグランジアン密度を書くことができる。
（尚、φはどこにおいてもいい筈であるが、φを中央に置いた形としているのは、後述のように、ψ_Lが２成分あり、ψ_Rが１成分であって、複素スカラー場φを複素数でなく２つの成分を持つベクトルのような表現を取った時にも、スカラー量となるようにするためである。）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\bar{\psi}^{'}_L\phi^{'}\psi^{'}_R=(\bar{\psi}_Le^{i\lambda})(e^{-2i\lambda}\phi)(e^{i\lambda}\psi_R)=\bar{\psi}_L\phi\psi_R$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\bar{\psi}^{'}_R\phi^{'}^{\dagger}\psi^{'}_L=(\bar{\psi}_Re^{-i\lambda})(e^{2i\lambda}\phi^{\dagger})(e^{-i\lambda}\psi_L)=\bar{\psi}_R\phi^{\dagger}\psi_L$
このような湯川相互作用項（ y：湯川結合定数）を導入すると、カイラル対称性を有するラグランジアン密度を作ることができる。すなわち、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\bar{\psi}i\gamma_{\mu}\partial^{\mu}\psi-y(\bar{\psi}_{L}\phi\psi_R+\bar{\psi}_R\phi^{\dagger}\psi_L)$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{yukawa}=-y(\bar{\psi}_{L}\phi\psi_R+\bar{\psi}_R\phi^{\dagger}\psi_L)$
この形は前項(a)で述べた複素スカラー場とゲージ場の相互作用と同じことが言えて、真空期待値＜φ＞ = v/√2 をもてば、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\bar{\psi}i\gamma_{\mu}\partial^{\mu}\psi-y\frac{v}{\sqrt{2}}(\bar{\psi}_{L}\psi_R+\bar{\psi}_R\psi_L)=\bar{\psi}i\gamma_{\mu}\partial^{\mu}\psi-y\frac{v}{\sqrt{2}}(\bar{\psi}\psi)$ $\hspace{40mm}(=\bar{\psi}i\gamma_{\mu}\partial^{\mu}\psi-m_F\bar{\psi}\psi)$
ψの２次の項がフェルミオンの質量 m_F を表し、次式で与えられる。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $m_F=\frac{yv}{\sqrt{2}}$
これもまた、ヒッグス機構と呼ばれる。


                ＜参考１＞湯川相互作用と中間子論  

　　　　　　　　　　　　　　ディラック場とスカラー場があり、それらが相互作用する時の相互作用項を
                            湯川相互作用　L_yukawa　といい、
                　　　　　　　　　　　  
                　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　
                            このラグランジアン密度から、運動方程式を作ると、
                　　　　　　　　　　　     
                　　　　　　　　　　　    
　　　　　　　　　　　　　　となる。直観的には、第１式は、フェルミオンψがボゾンφのソースになっているという式で、第２式は、
　　　　　　　　　　　　　　ボゾンφがフェルミオンψに吸収されて新しいψができると考えられる式(yφがポテンシャルU=yφ）である。

                            説明は省略するが、この湯川項から経路積分を駆使して計算すれば、湯川ポテンシャルが導出される。


                      ＜湯川の中間子論＞　(原論文：[PDF]素粒子の相互作用について Ｉ 湯川秀樹」で検索してください)

                           最初の論文は、余り親切とは言い難い論文であるが、以下にその内容を紹介しておこう。

                            
　　　　　　　　　　　　　　中性子と陽子の場を記述するため、電磁場のポテンシャル(∂_μ^μA=0)に似た方程式を導入する。
                　　　　　　　　　　　
                            この方程式の解は、Ｕ∝(1/r)の形をしている。中性子と陽子の間に働く力のポテンシャルは、クーロン型でなく、
　　　　　　　　　　　　　　距離とともに減少するものでなければならない。それは、例えば Ｕ∝e^-λr/r のように表すことができる。
　　　　　　　　　　　　　　この関数は、波動方程式
                　　　　　　　　　　　
                            の静的な球対称解である。(上右は方程式を満足するが方程式の解としては係数は正負含め任意である。係数の決定は＜補足＞参照）
　　　　　　　　　　　　　　この方程式を真空中のＵに対する正しい方程式と仮定する。
　　　　　　　　　　　　　　そして重い粒子があると、Ｕ場はそれらと相互作用し、中性子状態から陽子状態へ転化を起こすとした。

 
                            点電荷 q の作る電位ポテンシャルＵは、次のポアッソン方程式で与えられ、右辺はその源ｑを表す。 
                　　　　　　　　　　　
                            また、電磁場と相互作用する粒子のディラック方程式は、次式で与えられる。
                　　　　　　　　　　　
                            こうした電磁場の関係式からの類推で、中性子と陽子の間に働く力のポテンシャルＵを次のように表した。　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　フェルミオン場ψを、上下向スピン（中性子 n）と下向きスピン（陽子 p）の２成分を持つものとし、パウリ行列σ^k　を用いて、
                　　　　　　　　　　　　
                            この関係を用いて、ポテンシャルＵ（中性子状態から陽子状態への転移に対応）およびその複素共役Ｕ^*（陽子状態から中性子状態
　　　　　　　　　　　　　　への転移に対応）の方程式並びにその解を、(方程式と解との関係は、＜補足＞参照）
                　　　　　　　　　　　
                　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　として、重い粒子に対し、次のような、スピンを無視した簡単な非相対論的波動方程式を用いる。( M_n、M_p は、中性子・陽子の質量）
                            (ここでは、E=p²/(2m)+mc²を量子化し、電磁場の相互作用項の類推を付加している）
                　　　　　　　　　　　  
                                             ( [筆者注]この式は、ψ_n、ψ_pに対する２つの波動方程式を２成分とするψの方程式として得られる ）
                            
　　　　　　　　　　　　　　この方程式は以下のハミルトニアンに対応する。 
                　　　　　　　　　　　  
                　　　　　　p は粒子の運動量である。M_nc²-M_pc²=D および M_n + M_p = 2M と置くと、定数項 Mc² を除いて、近似的に以下となる。( M_n ～ M_p ) 
                　　　　　　　　　　　  
                            点１(x1,y1,z1)と点２(x2,y2,z2)にそれぞれ存在する２つの重い粒子を考え、それらの相対速度は小さいと仮定する。
　　　　　　　　　　　　　　点２の粒子によって点１に生じる場は、Ｕ、Ｕ^*　の解でσ¹、σ²をσ¹⁽²⁾、σ²⁽²⁾ などと置いたものとなる。
                            その系のハミルトニアンは、外部場のない場合、
                　　　　　　　  
                　　　　　　　　   
                                             ( [筆者注]この式も、点１と点２のハミルトニアンが２行のハミルトニアンとして書かれていると見るべきか ）
                            p₁、p₂ は粒子の運動量である。
　　　　　　　　　　　　　　このハミルトニアンは、プラッツべクセル積分として、
                　　　　　　　　　　　  
                            をとれば、最低エネルギー状態は、実験で要請されるとおり、スピン１を持つことになる。 ( [筆者注]　このくだり意味不明 ）

                            論文の内容はここまでである。


                            
　　　　　　　　　　　　　　尚、論文には明確な言及はないが、次のように、重い粒子の質量が推定できる。
　　　　　　　　　　　　　　不確定性関係 ⊿E⊿t ～ h/(2π）から、大きなエネルギー ⊿E～mc² を持つ粒子では、寿命⊿t～h/(2π)/⊿Eの間に光速 c で
　　　　　　　　　　　　　　進む距離は、λ程度であるから、次式が成り立つ。λを原子核の直径(2R)程度とすると、重い粒子の質量は、100MeV程度で
　　　　　　　　　　　　　　電子(0.5MeV)と陽子(940MeV)の中間の値となる。（これが中間子と呼ばれる所以である。）
                　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
                        ＜補足＞ 以下はその補足のつもりであるが自信はない。


　　　　　　　　　　　　　　湯川論文で、Ｕ、Ｕ^*　の方程式右辺を負符号から正符号に変換すると、解の符号も逆転する。その後に続く方程式もさることながら
　　　　　　　　　　　　　　最終の式のハミルトニアンのポテンシャル部の符号も正から負に逆転する。
                            符号をこのようにみて、今、点２を原点とする座標で考えると、p₂ = 0 であるから、さらに D = 0 と置くと、点１の運動方程式は、
                            次のように書ける。
                　　　　　　　　　　　  
                            従い、陽子ー陽子、陽子ー中性子、中性子ー中性子のどの相互作用でも、同じポテンシャル －g²e^-λr/r （引力）を感じることになる。


　　　　　　　　　　　　　　
                            そのポテンシャルは、必ず引力になることは、上に見たようにハミルトニアン形から分かるが、中性子と陽子の場Ｕ、Ｕ^*の
　　　　　　　　　　　　　　方程式から直接的に、次のように説明される。

                            場Ｖは実数でなければならないから、Ｕと共役複素関数Ｕ^*の和で表され、（ここでも符号を逆転させる）
                　　　　　　　　　　　  
                　　　　　　　　　　　
                                                              
                　　　　　　　　　　　                        

　　　　　　　　　　　　　　すなわち、湯川相互作用項 並びに これを「源」とする静的ポテンシャルＶ(∂V/∂t = 0)の満足すべき関係は、次式で表される。
                　　　　　　　　　　　  
                　　　　　　　　　　　  
                            上第２式の球対称解は次のように求められる。右辺＝０とするときその解は、任意の係数をαとして、
                　　　　　　　　　　　  
                            この方程式を、「源」の位置xを中心とする半径 R の球で体積積分すると、左辺・右辺は、それぞれ、
                　　　　　　　　　　　  
                　　　　　　　　　　　               
                　　　　　　　　　　　  
                            両辺が同じでなければならないから、
                　　　　　　　　　　　 
 
　　　　　　　　　　　　　　冒頭に書いたように、場に働くポテンシャルは U=yφ であるが、今の場合 ｙ＝ｇ、φ＝Ｖ であるから、
                            湯川ポテンシャル Ｕ_yukawa は、次のように書け、引力であることが分かる。

　　　　　　　　　　　　　

                ＜参考２＞関係式 

                
     
                          （カイラル表現のγ行列の関係式 γ^μγ^ν = －γ^νγ^μ（μ≠ν）、(γ⁵)² = 1 を使う）

(5)標準理論～電磁気力・弱い核力・強い核力～

ヒッグス機構で説明する電弱統一理論（ＧＷＳ理論：グラショウ・ワインバーグ・サラム理論）と、ヒッグス機構を加味しない量子色力学（ＱＣＤ理論：Quantum Chromodynamics Theory)を合わせて標準理論という。

両者はSU(2),SU(3)の違いはあるが、共にヤン・ミルズ場をベースとしており、電弱統一理論では、クォークの質量までは議論できるが、クォークとグル―オンの性質や関係は、量子色力学で論じられる。

(質量に限定して言えば、電弱統一理論で得られるクォークの質量は、例えば u,d クォークでは、約 5.5 MeV しかなく、陽子(uud)中性子(udd)の質量である約 1 GeV を説明できない。この差は、フェルミオン凝縮の１つであるクォーク凝縮（カイラル対称性の破れ）によるとされる。）



                                    　　　　　　　　　　                               σ^a：パウリ行列           λ^a：ゲルマン行列
                                    　　　　　　　　　　                               ε_abc：ﾚｳﾞｨ･ﾁｳﾞｨﾀ記号      f_abc：構造定数

	電磁場(Maxwell)	電磁＆Dirac場(QED)	弱ボゾン場＜Yang-Mills場＞	電弱統一場(GWS)	強い相互作用(QCD)
対称性	U_em(1) $U=e^{i\omega}=e^{iq\chi}$	U_em(1) $U=e^{i\omega(x)}$	SU(2) $U=e^{i\omega^a(x) T^a}\hspace{10mm}(T^a=\sigma^a/2)$	U_Y(1) $\otimes$ SU(2) $U^T=U^1U^2 \hspace{70mm}$ $\mbox{[for\:\:U_Y(1)\times SU(2)]}$ $U^1=e^{i\alpha(x)}=e^{iY\chi(x)}\hspace{10mm}$ $\mbox{[for\:\:U_Y(1)]}$ $U^2=e^{i\omega^a(x) T^a}\hspace{60mm}$ $\mbox{[for\:\:SU(2)]}$	SU(3) $U=e^{i\omega^a(x) \lambda^a}$
変換	$\psi^{'}=e^{i\omega }\psi$	$\psi^{'}=e^{i\omega}\psi$	$\psi^{'}=U\psi$	$\psi=\psi_R+\psi_L$ $\hspace{20mm}\psi_R^{'}=U^1\psi_R\hspace{60mm}$ $\mbox{[for\:\:Singlet]}$ $\hspace{20mm}\psi_L^{'}=U^T\psi_L\hspace{60mm}$ $\mbox{[for\:\:Doublet]}$ $\Phi^{'}=U^T\Phi\hspace{90mm}$ $\mbox{[for\:\:Higgs]}$	$\psi_q^{'}=U\psi_q \hspace{10mm}(q^{'}=Uq)$
ゲージ変換	＜電磁場 A_μ＞ $A^{'}_{\mu}=A_{\mu}+\partial_{\mu}\chi$ $\hspace{20mm}$\bf A\rm^{'}=\bf A\rm+\nabla\chi \\ \phi^{'}=\phi-\frac{\partial \chi}{\partial t}$$	＜電磁場 A_μ＞ $A^{'}_{\mu}=A_{\mu}+(1/e)\partial_{\mu}\omega$ $\hspace{20mm}$\bf A\rm^{'}=\bf A\rm+\nabla\chi \\ \phi^{'}=\phi-\frac{\partial \chi}{\partial t}$$	＜ヤン・ミルズ場 A_μ＞ $\mathcal{A}_{\mu}=\sum_{a=1}^3A_{\mu}^a\sigma^a$ $\hspace{10mm}\mathcal{A}^{'}_{\mu}=U\mathcal{A}_{\mu}U^{\dagger}+(i/g)\{\partial_{\mu}U\}U^{\dagger}$ $(\partial_{\mu}U)U^{\dagger}=-U\partial_{\mu}U^{\dagger} \\ \partial_{\mu}(UU^{\dagger})=\partial_{\mu}I=0$	＜ヤン・ミルズ場 B_μ & W_μ＞ $B^{'}_{\mu}=B_{\mu}+(2/g^{'})\partial_{\mu}\alpha$ $\mathcal{W}_{\mu}=\sum_{a=1}^3W_{\mu}^a\sigma^a$ $\hspace{10mm}\mathcal{W}^{'}_{\mu}=U^2\mathcal{W}_{\mu}U^2^{\dagger}+(2i/g)\{\partial_{\mu}U^2\}U^2^{\dagger}$	＜グル―オン場 G_μ＞ $\mathcal{G}_{\mu}=(1/2)\sum_{a=1}^8G_{\mu}^a\lambda^a$ $\hspace{10mm}\mathcal{G}^{'}_{\mu}=U\mathcal{G}_{\mu}U^{\dagger}+(i/g)\partial_{\mu}\{\partial_{\mu}U\}U^{\dagger}$
共変微分	$\:\:-\:\:$	$D_{\mu}=\partial_{\mu}-ieA_{\mu}$ $\:\:-\:\:$ $D^{'}_{\mu}=UD_{\mu}U^{\dagger}$	$\:\:-\:\:$ $D_{\mu}=\partial_{\mu}-ig(A_{\mu}^a T^a)$ $D^{'}_{\mu}=UD_{\mu}U^{\dagger}$	$D^1_{\mu}=\partial_{\mu}+(ig^{'}/2)YB_{\mu}\hspace{40mm}$ $\mbox{[for\:\:Singlet]}$ $D^2_{\mu}=\partial_{\mu}+(ig/2)\mathcal{W}_{\mu}\hspace{60mm}$ $\mbox{[for\:\:Gauge]}$ $D^T_{\:\:\mu}=\partial_{\mu}-(ig^{'}/2)B_{\mu}+(ig/2)\mathcal{W}_{\mu}\hspace{40mm}$ $\mbox{[for\:\:Doublet]}$ $D^T_{\:\:\mu}=\partial_{\mu}+(ig^{'}/2)B_{\mu}+(ig/2)\mathcal{W}_{\mu}\hspace{40mm}$ $\mbox{[for\:\:Higgs]}$ $(D^{'}_{\mu}=UD_{\mu}U^{\dagger})$	$\:\:-\:\:$ $D_{\mu}=\partial_{\mu}+ig\mathcal{G}_{\mu}$ $D^{'}_{\mu}=UD_{\mu}U^{\dagger}$
全ﾗｸﾞﾗﾝｼﾞｱﾝ密度	$\mathcal L\rm=\mathcal L\rm_{em}$	$\mathcal L\rm=\mathcal L\rm_{p}+\mathcal L\rm_{em}$	$\mathcal L\rm=\mathcal L\rm_{p}+\mathcal L\rm_{YM}$	$\mathcal L\rm=\mathcal L\rm_{p}+\mathcal L\rm_{boson}+\mathcal L\rm_{\Phi}+\mathcal L\rm_{yukawa}$	$\mathcal L\rm_{strong}=\mathcal L\rm_{quark}+\mathcal L\rm_{gluon}$
ﾗｸﾞﾗﾝｼﾞｱﾝ密度/粒子場	$\:\:-\:\:$	$\mathcal L\rm_p=\bar{\psi}i\gamma^{\mu}D_{\mu}\psi-m\bar{\psi}\psi$ $\hspace{20mm}\bar{\psi}=\psi^{\dagger}\gamma^{0}$	$\mathcal L\rm_p=\bar{\psi}i\gamma^{\mu}D_{\mu}\psi-m\bar{\psi}\psi$ $\hspace{20mm}\bar{\psi}=\psi^{\dagger}\gamma^{0}$	$\mathcal L\rm_p=\bar{\psi}_Li\gamma^{\mu}D^T_{\mu}\psi_L+\bar{\psi}_Ri\gamma^{\mu}D^1_{\mu}\psi_R$ $\hspace{20mm}\bar{\psi}_L=\psi_L^{\dagger}\gamma^{0}$ $\hspace{20mm}\bar{\psi}_R=\psi_R^{\dagger}\gamma^{0}$	$\mathcal L\rm_{quark}=\sum_{f=1}^6{\bar{q}_fi\gamma^{\mu}D_{\mu}q_f-m_f\bar{q}_fq_f$ $\hspace{20mm}\bar{q}_f=q_f^{\dagger}\gamma^{0}$
ﾗｸﾞﾗﾝｼﾞｱﾝ密度/ｹﾞｰｼﾞ場	$\mathcal L\rm_{em}=-(1/4)Tr\{(F_{\mu\nu})(F^{\mu\nu})\}$ $\hspace{20mm}=-(1/4)F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ $\hspace{10mm}F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$ $\:\:-\:\:$	$\mathcal L\rm_{em}=-(1/4)Tr\{(F_{\mu\nu})(F^{\mu\nu})\}$ $\hspace{25mm}=-(1/4)F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ $\hspace{10mm}F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$ $\:\:-\:\:$	$\mathcal L\rm_{YM}=-(1/2)Tr\{(\mathcal{F}_{\mu\nu})(\mathcal{F}^{\mu\nu})\}$ $\hspace{40mm}=-(1/4)F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}$ $\hspace{100mm}.$ $[\mathcal{F}_{\mu\nu}=F_{\mu\nu}^aT^a]$ $\hspace{100mm}.$ $[\mathcal{F}^{'}_{\mu\nu}=U\mathcal{F}_{\mu\nu}U^{\dagger}]$ $\:\:-\:\:$ $\hspace{10mm}F_{\mu\nu}^a=D_{\mu}A^a_{\nu}-D_{\nu}A^a_{\mu}$ $\hspace{30mm}=\partial_{\mu}A^a_{\nu}-\partial_{\nu}A^a_{\mu}-g\epsilon_{abc}A^b_{\mu}A^c_{\nu}$	$\mathcal L\rm_{boson}=-(1/4)Tr\{(f_{\mu\nu})(f^{\mu\nu\})}-(1/2)Tr\{(\mathcal{F}_{\mu\nu})(\mathcal{F}^{\mu\nu})\}$ $\hspace{40mm}=-(1/4)f_{\mu\nu}f^{\mu\nu}-\sum_{a=1}^3(1/4)F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}$ $\hspace{80mm}.$ $[\mathcal{F}_{\mu\nu}=F_{\mu\nu}^aT^a=(1/2)F_{\mu\nu}^a\sigma^a]$ $\hspace{80mm}.$ $[\mathcal{F}^{'}_{\mu\nu}=U^2\mathcal{F}_{\mu\nu}U^2^{\dagger}]$ $\hspace{80mm}.$ $[f^{'}_{\mu\nu}=U^1f_{\mu\nu}U^1^{\dagger}=f_{\mu\nu}]$ $\hspace{10mm}f_{\mu\nu}=\partial_{\mu}B_{\nu}-\partial_{\nu}B_{\mu}$ $\hspace{10mm}F^a_{\mu\nu}=D^2_{\mu}W^a_{\nu}-D^2_{\nu}W^a_{\mu}$ $\hspace{10mm}F^a_{\mu\nu}=D^T_{\mu}W^a_{\nu}-D^T_{\nu}W^a_{\mu}$ $\hspace{30mm}=\partial_{\mu}W^a_{\nu}-\partial_{\nu}W^a_{\mu}-g\epsilon_{abc}W^b_{\mu}W^c_{\nu}$	$\mathcal L\rm_{gluon}=(1/2)Tr\{(\mathcal{F}_{\mu\nu})(\mathcal{F}^{\mu\nu})\}$ $\hspace{40mm}=-(1/4)F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu}$ $\hspace{100mm}.$ $[\mathcal{F}_{\mu\nu}=(1/2)F_{\mu\nu}^a\lambda^a]$ $\hspace{100mm}.$ $[\mathcal{F}^{'}_{\mu\nu}=U\mathcal{F}_{\mu\nu}U^{\dagger}]$ $\:\:-\:\:$ $\hspace{10mm}F_{\mu\nu}^a=D_{\mu}G^a_{\nu}-D_{\nu}G^a_{\mu}$ $\hspace{30mm}=\partial_{\mu}G^a_{\nu}-\partial_{\nu}G^a_{\mu}-gf_{abc}G^b_{\mu}G^c_{\nu}$
ﾗｸﾞﾗﾝｼﾞｱﾝ密度/ﾋｯｸﾞｽ場	$\:\:-\:\:$	$\:\:-\:\:$	$\:\:-\:\:$	$\mathcal L\rm_{\Phi}=(D^2_{\mu}\Phi)^{\dagger}D^{2\mu}\Phi-V(\Phi^{\dagger}\Phi)$ $\hspace{20mm}V(\Phi^{\dagger}\Phi)=(m^2/2\phi_0^2)[\Phi^{\dagger}\Phi-\phi_0^2]$	$\:\:-\:\:$
ﾗｸﾞﾗﾝｼﾞｱﾝ密度/湯川相互作用	$\:\:-\:\:$	$\:\:-\:\:$	$\:\:-\:\:$	$\mathcal L\rm_{yukawa}=y\bar{\psi}\psi\Phi$	$\:\:-\:\:$ (クォーク凝縮）（無数のｸｫｰｸ･反ｸｫｰｸ凝縮対が充満する空間の中にある別のｸｫｰｸは、この対との相互作用により動きにくくなる。すなわち質量を持つ）

局所的ゲージ対称性並びにカイラル対称性を満足させるためには、ウィークボゾン並びに粒子(フェルミオン）の質量はゼロでなければならない。そこで、それらの質量項はヒッグス場φ(そのポテンシャルを V とする)との相互作用 (すなわちヒッグス機構、ただしフェルミオンの質量は、ヒッグス場との湯川相互作用 y_ij ；i,j=1-3世代）とに置き換えられる。
レプトン（e,ν_e,μ,ν_μ,τ,ν_τ）・クォーク(u,d,s,c,t,b）の各フェルミオン場ψ_iすべてを合わせた粒子場をΨと表し、電磁気力と弱い力に関するゲージ場(電磁場 A_μ＆ボゾン場（ W⁺、W^-、Z⁰)のベース）を、( B_μ、W_μ^a(a=1-3) )、＜略記して( B_μ、W_μ )＞、強い力に関するゲージ場（グル―オン場）を G_μ(a=1-8)＜略記して G_μ＞と表し、且つ、それぞれの場の強さを、B_μνB^μν、W^a_μνW^aμν＜略記してW_μνW^μν＞（大胆に言えば、B_μνB^μν は電磁場の強さ、W_μνW^μν はボゾン場の強さに相当する）と表し、また G^a_μνG^aμν＜略記してG_μνG^μν＞、さらに、それらを合わせたものを、新たにF_μνF^μνと表すこととすれば、電磁場・弱い力の場・強い力の場を、以下のように統一的に表すことができる。 (但し、Dと/の重ね書きを仮にD^(/)と書けば、D^(/)=γ^μD_μであり、B^(/)・W^(/)・G^(/)も同様の表現である。ラグランジアン密度は実数でなければならないので、h.c.はその前の項のエルミート共役(h.c.)を付け加えてある。）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+i\bar{\Psi}D^{(/)}\Psi+h.c.+\bar{\Psi}_i y_{ij}}\Psi_j\phi+h.c.+|D_{\mu}\phi|^2-V(\phi)$

これが、冒頭に示した標準理論の神髄である。

      [注] 波動関数の変換 e^±iω 、共変微分 D_μ＝∂_μ±igA_μ の符号次第では次のように、ゲージ場変換 A'_μ=A_μ±(1/g)∂_μω、ゲージ場との相互作用
          （ネーターカレント）の符号が変わる。
　　　　　　　　　　　　        
　　　　　　　　　　            
　　　　　　　　　　            
　　　　　　　　　　            
           この扱いは、ネーターカレントJ_μを用いた、ゲージ場A_μとの相互作用項の符号のどちらを採用するかの問題であり、教科書
　　　　　 又は扱う場により様々である。本サイトでは統一的に書けておりませんので注意深く読んで下さい。


           ここで、標準理論で用いられる、場の変換と生成子・ネーターカレントについて、若干付言しておこう。

           
     ＜ネーターの定理＞

           ネータの定理とは、ある変換に対して作用積分の変化が０、すなわちラグランジアン密度の変化が０、言い換えればラグランジアン密度が対称である
           ならば、ネーターカレントが定義され、ネータカレントは保存され、その時間成分の３次元積分は、ネーターチャージと言われる保存量を表すという
           ものである。座標の微小変換δx^μ、場の微小変換δφに対し、
　　　　　　　　　　　　         
　　　　　　　　　　　　        
           とするとき、
　　　　　　　　　　　　        
　　　　　　　　　　　　        
　　　　　　　　　　　　        
　　　　　　　　　　　　        
           作用積分が変換により変化しないならば、δＳ＝０、従い、上式 [ ]＝０、更に、このように定義されたネーターカレント　j^μは、保存される(連続の式）
　　　　　 ことが分かる。すなわち、
　　　　　　　　　　　　        
           また、ネーターカレントの時間成分の３次元積分は、時間によって変化しない、つまり保存量であることが言える。
　　　　　　　　　　　　        

     ＜ネーターカレントと生成子＞

　　　　　 ネーターカレントは、＜ネータの定理＞で説明したように、少し式を変形すると、次式で定義される。
　　　　　　(この定義が場合により、反対符号で定義されることがある。）
　　　　　　　　　　　　        
           または、
　　　　　　　　　　　　        

           座標変換はローレンツ変換など時空の変換が関係する時には問題となるが、アイソスピン空間などの内部空間では、座標は一定で、 と
　　　　　 おける。この時、ネーターカレントは次式で表される。
　　　　　　　　　　　　        


　　　　　 さて、(a)ゲージ場とゲージ変換＜参考１＞座標回転と位相変換のところで説明したように、ｚ軸周り時計方向にθだけ回転っした時の変換Ｕは、
           ｚ軸方向の角運動量の演算子 L_zで、次のように表されるのであった。
　　　　　　　　　　　　        
　　　　　 この回転を反時計周りにθだけ回転するものとして定義すれば、次のように符号は反転する。
　　　　　　　　　　　　        

           標準理論では、場の変換として、前者の形式が多用される。この対称群の生成子を G 、微小変換をαとして、
　　　　　　　　　　　　        
           とすると、ネーターカレントは、次のように表される。
　　　　　　　　　　　　        
　　　　 　ネーターカレントを定義した大元の式、∂_μj^μ=0 において、大局的対称性の変換では、∂_μα=0 であることを考慮すれば、ネーターカレントは
　　　　　 次のように再定義できる。すなわち、
　　　　　　　　　　　　        
           この定義に従うネーターカレントの時間成分の３次元積分をとると、生成子に対応する物理量 G が保存されることがわかる。
　　　　　　　　　　　　        

           G = qQ (q>0、電子: Q = -1、陽子: Q = 1 ）と置けば、電荷 qQ が保存されることを見て取れよう。また、このように置いたとき、共変微分は、
　　　　　　　　　　　　        
           q は電磁場における結合定数であるから、一般に、結合定数を g 、生成子を Y とすると、次のような形式で書くことができる。

＜補足説明(a) ＧＷＳ(グラショウ・ワインバーグ・サラム)理論／電弱統一理論＞

電磁相互作用は U(1) ゲージ対称性で、弱い相互作用は SU(2) ゲージ対称性で定式化できるように見えるが、それぞれ独立したゲージ理論と考え、 U(1)_em $\otimes$ SU(2)_weak とすると、現実と合わない相互作用が現れる（詳しくは説明しないが、この考え方に基ずく相互作用がベクトル型 ( $\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi)$ ) であり、パリティを保存する。しかし、現実の弱い相互作用の荷電カレントは左巻きであり、ベクトル型と軸性型が寄与しパリティを破っている）。従い、電磁相互作用と弱い相互作用を１つのゲージ理論の異なる成分として表そうとするのが電弱統一理論である。その理論は、直積 U_Y(1) $\otimes$ SU(2) のゲージ変換に基づく。U(1) と SU(2) の対称性が自発的に破れ、その結果、U(1) $\otimes$ SU(2) の、破れのない部分群 U(1)_emが電磁相互作用になるとするものである。

U_Y(1) $\otimes$ SU(2) ゲージ変換とは次のようなことを言う。弱い相互作用の荷電カレントは左巻きでであり、また、ニュートリノは左巻きだけで右巻きニュートリノは存在しない。従い、左巻き成分と右巻き成分に対して異なるゲージ変換を考える。そこで、電子と電子ニュートリノの左巻き成分を SU(2) の２重項、電子の右巻き成分を SU(2) の１重項と考える。
電子ニュートリノ、電子の自由場のディラック粒子をν、e、左巻きを、ψ_L または L_e、右巻きを、ψ_R または R_e などと表すと、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\psi_L=L_e=\left(\nu_L \\ e_L \right)=\left(\nu \\ e \right)_L=\frac{1-\gamma^5}{2}\left(\nu \\ e \right) \hspace{60mm}\psi_R=R_e=e_R=\frac{1+\gamma^5}{2}e$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\psi=\left(\psi_L \\ \psi_R \right)=\left(L_e \\ R_e \right)=\left(L_e \\ 0 \right)+\left(0 \\ R_e \right)$
このとき、ψ_L、ψ_R は、次の局所ゲージ変換 U(1) ならびに SU(2) を受けるとするものである。(下右に記す Y や T^aを生成子と言う）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $<U(1)>\hspace{35mm}\psi_L^{'}=e^{i\alpha}\psi_L \hspace{45mm}\psi_R^{'}=e^{i\alpha}\psi_R$ 　 $\hspace{80mm}{(ex)}\hspace{5mm}\alpha=(-Y/2)\lambda \hspace{20mm}{or}\hspace{5mm}\alpha=q\lambda$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $<SU(2)>\hspace{20mm}\psi_L^{'}=e^{i\omega^aT^a}\psi_L \hspace{20mm}\psi_R^{'}=\psi_R$ 　 $\hspace{100mm}{(ex)}\hspace{5mm}T^a=-\sigma^a/2$
合わせて、次のような直積 U_Y(1) $\otimes$ SU(2) の微小ゲージ変換を受ける。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\psi_L^{'}=U_Y(1)\times SU(2)\psi_{L}=(e^{i\alpha}\times e^{i\omega^aT^a})\psi_{L}=e^{(i\alpha+i\omega^aT^a)}\psi_{L}\simeq (1+i\alpha}+i\omega^aT^a})\psi_{L}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\psi_R^{'}=U_Y(1)\times SU(2)\psi_{R}=(e^{i\alpha}\times e^0)\psi_{R}\hspace{28mm}=e^{i\alpha+0}}\psi_{R}\hspace{38mm}\simeq (1+i\alpha)\psi_{L}$

生成子 Y 、T³ には、電荷の演算子 Q=T³+Y/2 の関係にあり、左巻き電子(Q=-1,T³=-1/2,Y=-1)、右巻き電子では(Q=-1,T³=0,Y=-2)、左巻き電子ニュートリノでは(Q=0,T³=1/2,Y=-1) であることは既に述べたが、これを用いると、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $Q$\nu_{L}\\ e_{L}$=$\hspace{12mm}0\\ -e_{L}$ \hspace{40mm}T^3$\nu_{L}\\ e_{L}$=\frac{1}{2}$1\hspace{15mm}0\\0\:\:-1$$\nu_{L}\\ e_{L}$=\frac{1}{2}$\hspace{12mm}\nu_L\\ -e_{L}$$ $\hspace{40mm}Y$\nu_{L}\\ e_{L}$=2$\hspace{12mm}0\:\:\:\:\\-e_L$-$\hspace{12mm}\nu_L\\ -e_{L}$=-$\nu_{L}\\ e_{L}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $Qe_R=-e_R \hspace{80mm}T^3e_R=0$
すなわち、左巻き成分の２重項は Y の固有状態であり、その固有値は -1 であり、右巻き成分の Y の固有値は -2 である。
また、左巻きの電子と左巻き電子ニュートリノとは弱アイソスピンの異なる状態であることがみてとれる。
このような U(1) , SU(2) ゲージ変換に対応して、導入されるゲージ場を B_μ , W_μ=(W^a_μ)(a=1～3) とすると、共変微分は、次のように表される。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $<e_R>\hspace{35mm}D_{\mu}=\partial_{\mu}+\frac{ig^{'}}{2}B_{\mu}Y=\partial_{\mu}-ig^{'}B_{\mu} \hspace{100mm}\hspace{70mm}{where}\hspace{10mm}Y=-2$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $<L>\hspace{35mm}D_{\mu}=\partial_{\mu}+\frac{ig^{'}}{2}B_{\mu}Y+\frac{ig}{2}W_{\mu}^a\sigma^a=\partial_{\mu}-\frac{ig^{'}}{2}B_{\mu}+igW_{\mu}^aT^a$ $\hspace{20mm}{where}\hspace{10mm}Y=-1\hspace{10mm}T^a=\sigma^a/2$
ここに現れる 1/2 の係数は、後で出てくる量をすっきり表すためにこのように置いているだけの意味しかない。

このように、フェルミオンに２重項を導入したことに対応して、複素スカラー場も２重項として、電荷Ｑ＝1を持つ複素スカラー場φ⁺ と、電荷Ｑ＝0を持つ複素スカラー場φ⁰ を導入する。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\phi=$\phi^{+}\\ \phi^0$=$\phi_1+i\phi_2 \\ \phi_3+\phi_4$ \hspace{80mm}Q$\phi^{+}\\ \phi^0$=$\phi^{+}\\ 0$ \hspace{80mm}T^3$\phi^{+}\\ \phi^0$=\frac{1}{2}$\phi^{+}\\ -\phi^0$$
φ⁺ は電荷１,アイソスピン(1/2)、φ⁰ は電荷０,アイソスピン－(1/2) をもち、レプトンの２重項と同じ変換を受けることになる。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $<\phi>\hspace{35mm}D_{\mu}=\partial_{\mu}+\frac{ig^{'}}{2}B_{\mu}Y+\frac{ig}{2}W_{\mu}^a\sigma^a=\partial_{\mu}+\frac{ig^{'}}{2}B_{\mu}+igW_{\mu}^aT^a$ $\hspace{20mm}{where}\hspace{10mm}Y=1\hspace{10mm}T^a=\sigma^a/2$

＜補足説明(a)－① レプトン質量／ヒッグス機構＞ (２重項が出てくる以外は、これまでの総復習に過ぎないので、関連数式を羅列する。)

上に示したような $U(1)_Y\otimes SU(2)$ に従う右巻き粒子Ｒ・左巻き粒子Ｌの変換、並びに　４つのゲージ場（Ｂ・Ｗ）の定義・変換から、各ラグランジアン密度が得られる。

$R\rightarrow R^{'}=e^{i\alpha}R=e^{iY\beta}R$
$L\rightarrow L^{'}=e^{i\bf\omega\rm\cdot\bf\sigma\rm/2}L\simeq(1+i\bf\omega\rm\cdot\bf\sigma\rm/2)L$
$\hspace{80mm}\bf \omega\rm}=(\omega^a)=(\omega^1,\omega^2,\omega^3)$
$\hspace{80mm}\bf T\rm=\frac{\bf \sigma\rm}{2}\hspace{40mm}\bf T\rm=(T^a)=(T^1,T^2,T^3)\hspace{40mm}\bf \sigma\rm=(\sigma^a)=(\sigma^1,\sigma^2,\sigma^3)$

$\bf W\rm_{\mu}=(W^a_{\mu})=(W^1_{\mu},W^2_{\mu},W^3_{\mu})$
$4-gauge-field=(B_{\mu},W^1_{\mu},W^2_{\mu},W^3_{\mu})$

$\hspace{80mm}\bf W\rm_{\mu}\rightarrow \bf W\rm^{'}_{\mu}=\bf W\rm_{\mu}-\frac{2}{g}\partial_{\mu}\bf\omega\rm+\bf W\rm_{\mu}\times\bf\omega\rm$ $\hspace{40mm}{(cf)}\:\:(\bf a\rm\times\bf b\rm)_i=\sum_{j,k}\epsilon_{ijk}a_jb_k$ $\hspace{40mm}{(cf)}\:\:\epsilon_{ijk}\:\:{:}\:\:Levi-Civita\:\: Symbol\hspace{10mm}(\epsilon_{123}=1)$
　　　　　　　 $B_{\mu}\rightarrow B^{'}_{\mu}=B_{\mu}-\frac{2}{g^{'}}\partial_{\mu}\beta$

　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=\mathcal{L}_{leptons}+\mathcal{L}_{gauge}+\mathcal{L}_{Higgs}+\mathcal{L}_{yukawa}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{leptons}=\bar{\psi}i\gamma^{\mu} D_{\mu}\psi=\bar{R}i\gamma^{\mu}D^R_{\:\:\:\:\mu}R+\bar{L}i\gamma^{\mu}D^L_{\:\:\:\:\mu}L$ $=\bar{R}i\gamma^{\mu}(\partial_{\mu}+i\frac{g^{'}}{2}B_{\mu}Y)R+\bar{L}i\gamma^{\mu}(\partial_{\mu}+i\frac{g^{'}}{2}B_{\mu}Y+i\frac{g}{2}\bf W\rm_{\mu}\cdot\bf \sigma\rm)L$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{40mm}D^L_{\:\:\:\:\mu}=\partial_{\mu}+i\frac{g^{'}}{2}B_{\mu}Y+i\frac{g}{2}\bf W\rm_{\mu}\cdot\bf \sigma\rm$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{40mm}D^R_{\:\:\:\:\mu}=\partial_{\mu}+i\frac{g^{'}}{2}B_{\mu}Y$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{gauge}=-\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^a^{\mu\nu}-\frac{1}{4}f_{\mu\nu}f^{\mu\nu}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{40mm}F^a_{\mu\nu}=\partial_{\mu}W^a_{\nu}-\partial_{\nu}W^a_{\mu}-g\epsilon_{abc}W^b_{\mu}W^c_{\nu} \hspace{20mm}(a=1,2,3)$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{40mm}f_{\mu\nu}=\partial_{\mu}B_{\nu}-\partial_{\nu}B_{\mu}$

　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{Higgs}=(D_{\mu}\phi)^{\dagger}(D^{\mu}\phi)-V(\phi^{\dagger}\phi)$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{40mm}D_{\mu}=\partial_{\mu}+i\frac{g^{'}}{2}B_{\mu}+i\frac{g}{2}\bf W\rm_{\mu}\cdot\bf \sigma\rm \hspace{40mm}\mbox{where}\hspace{20mm}Y=1$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{40mm}V(\phi^{\dagger}\phi)=\mu^2(\phi^{\dagger}\phi)+\lambda(\phi^{\dagger}\phi)^2$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{yukawa}=-y\bar{\psi}\psi\phi=-y\{\bar{R}\phi^{\dagger}L+\bar{L}\phi R\}$

（既述のヒッグス機構の説明では V=－μ²φ²＋λφ⁴としていたが、ここでは＋μ²としていることに注意。）

ヒッグス場φの定義、変換、真空の期待値＜φ＞₀から、湯川相互作用・ヒッグス機構による質量項が得られる。

電弱統一理論でのヒッグス機構がそれまでのヒッグス機構と違うところは、左巻きのフェルミオンを２重項としていることである。この為、複素スカラー場も２重項として、電荷Ｑ＝1を持つ複素スカラー場φ⁺ と、電荷Ｑ＝0を持つ複素スカラー場φ⁰ を導入すると、 φ₃の期待値ｖ、およびその点からのφ⁰の実部・虚部の摂動量η・ξを用いて、
　　　　　　　 $\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}$\phi^{+} \\ \phi^{0}$=\frac{1}{\sqrt{2}}$\phi_1+i\phi_2 \\ \phi_3+i\phi_4$=\frac{1}{\sqrt{2}}$0 \\ v+\eta+i\xi$$ $\hspace{40mm}V(\phi^{\dagger}\phi)=\mu^2(\phi^{\dagger}\phi)+\lambda(\phi^{\dagger}\phi)^2=\frac{1}{2}\mu^2\sum \phi_i^2+\frac{1}{4}\lambda(\sum\phi_i^2)^2$
ここに、前節の「ヒッグス機構」で説明したように、対称性が破れるのはμ²<0 の時であり、真空状態|0＞は、φ⁰の実数場φ₃が有限の期待値ｖをもち他の３つの場の期待値が0である状態であるから、複素スカラー場の真空期待値 vev は、
　　　　　　　 $vev=<0|\phi|0>=\frac{1}{\sqrt{2}}$0\\v$ \hspace{40mm}{where}\hspace{20mm}v=\sqrt{\frac{-\mu^2}{\lambda}}$ $\hspace{50mm}\leftarrow\hspace{50mm}V=V_{min}\hspace{10mm}@\hspace{10mm}\sum\phi_i^2=-\frac{\mu^2}{\lambda}$
である。
質量を持たない南部・ゴールドストーン場ξを消去するため、前節の「ヒッグス機構」と同様に以下の変換を行う。
　　　　　　　 $\phi\equiv\mathcal{exp}(\frac{i\bf\xi\cdot\sigma\rm}{2v})$\hspace{20mm}0 \\ (v+\eta)/\sqrt{2}$$
　　　　　　　 $\phi\rightarrow\phi^{'}=\mathcal{exp}(\frac{-i\bf\xi\cdot\sigma\rm}{2v})\phi=$\hspace{20mm}0 \\ (v+\eta)/\sqrt{2}$$
　　　　　　　 $\bf\sigma\cdot W\rm_{\mu}\rightarrow\bf\sigma\cdot W\rm^{'}_{\mu}=\bf\sigma\cdot W\rm_{\mu}-\bf\xi\times W_{\mu}\cdot\sigma\rm-\frac{1}{g}}\partial_{\mu}(\bf\xi\cdot\sigma\rm)$ $\hspace{40mm}{(cf)}\:\:(\bf a\rm\times\bf b\rm)_i=\sum_{j,k}\epsilon_{ijk}a_jb_k$
　　　　　　　 $L\rightarrow L^{'}=\mathcal{exp}(\frac{-i\bf\xi\cdot\sigma\rm}{2v})L$
このようにすると、複素スカラー場は次の真空期待値を持つので、湯川項の表現より、レプトン e の質量がえられる。
　　　　　　　 $<\phi>_0\rightarrow \phi=$\hspace{20mm}0 \\ (v+\eta)/\sqrt{2}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{yukawa}=-y\{\bar{e}_R\phi^{\dagger}$\nu_L \\ e_L$+(\bar{\nu}_L\:\:\:\ \bar{e}_L)\phi e_R\}=-y\frac{v+\eta}{\sqrt{2}}(\bar{e}_Re_L+\bar{e}_Le_R)$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm}=-\frac{yv}{\sqrt{2}}\bar{e}e$ $-\frac{y}{\sqrt{2}}\eta\bar{e}e\hspace{40mm}\mbox{where}\hspace{5mm}\bar{e}\equiv(\bar{e}_R,\bar{e}_L)\:\:{and}\:\:e\equiv(e_L,e_R)^t$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm}\therefore\hspace{5mm}m_e=\frac{yv}{\sqrt{2}}$

次に、ヒッグス場の運動項を考えると、前節の「ヒッグス機構」と同様の手続きを経て、ヒッグスボゾン(H)・ウィークボゾン(W^±,Z⁰)・光子（A)の質量が得られる。
　　　　 $\phi^{\dagger}\phi=(\frac{v+\eta}{\sqrt{2}})^2$
　　　　　　　 $V(\phi^{\dagger}\phi)=\mu^2(\frac{v+\eta}{\sqrt{2}})^2+\lambda(\frac{v+\eta}{\sqrt{2}})^4=-\frac{1}{4}\frac{\mu^4}{\lambda}-\mu^2\eta^2+\lambda v\eta^3+\frac{1}{4}\lambda\eta^4$
　　　　　　　 $\partial_{\mu}\phi=$\hspace{20mm}0 \\ \partial_{\mu}\eta/\sqrt{2}$$
　　　　　　　 $\frac{ig^{'}}{2}B_{\mu}Y\phi=\frac{ig^{'}}{2}B_{\mu}\phi=\frac{ig^{'}}{2}B_{\mu}$\hspace{20mm}0 \\ (v+\eta)/\sqrt{2}$ \hspace{40mm}\mbox{where}\hspace{20mm}Y=1$
　　　　　　　 $(\sigma\cdot\bf W\rm_{\mu})\phi=W^1_{\mu}$(v+\eta)/\sqrt{2}\\ \hspace{20mm}0$+W^2_{\mu}$-i(v+\eta)/\sqrt{2}\\ \hspace{20mm}0$+W^3_{\mu}$\hspace{20mm}0 \\ -(v+\eta)/\sqrt{2}$$
　　　　　　　 $D^{\mu}\phi=\left( \frac{ig}{2}(\frac{v+\eta}{\sqrt{2}})(W^1_{\mu}-iW^2_{\mu}) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\partial_{\mu}\eta+(\frac{v+\eta}{\sqrt{2}})\frac{i}{2}(g^{'}B_{\mu}-gW^3_{\mu}) \right)$
　　　　　　　 $(D^{\mu}\phi)^{\dagger}(D_{\mu}\phi)=\frac{g^2}{8}(v+\eta)^2|W^1_{\mu}-iW^2_{\mu}|^2+\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\eta)(\partial^{\mu}\eta)+\frac{1}{8}(v+\eta)^2(g^{'}B_{\mu}-gW^3_{\mu})^2$

　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{Higgs}=(D^{\mu}\phi)^{\dagger}(D_{\mu}\phi)-V(\phi^{\dagger}\phi)$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm}=\{\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\eta)(\partial^{\mu}\eta)+\frac{v^2}{8}[ g^2|W^1_{\mu}-iW^2_{\mu}|^2+(g^{'}B_{\mu}-gW^3_{\mu})^2] \}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm}+\{\frac{1}{8}(\eta^2+2v\eta[ g^2|W^1_{\mu}-iW^2_{\mu}|^2+(g^{'}B_{\mu}-gW^3_{\mu})^2]$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm}+\frac{1}{4}\frac{\mu^4}{\lambda}+\mu^2\eta^2-\lambda v\eta^3-\frac{1}{4}\lambda\eta^4$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm}=[\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\eta)(\partial^{\mu}\eta)$ $-\frac{1}{2}(-2\mu^2)\eta^2]+\frac{v^2g^2}{8}W^{+}^{\mu}W^{+}_{\mu}+\frac{v^2g^2}{8}W^{-}^{\mu}W^{-}_{\mu}+\frac{g^2+g^{'}^2}{8}Z^{\mu}Z_{\mu}$ $+(others)$


      ここでは、下記に定義される式を使った。
　　　　　　　
　　　　　　　   
　　　　　　　
　　　　　　　
      この Z_μ と A_μ の関係をよく見かける行列形式で書いておこう。
　　　　　　　

      ここに、θ_Wは、ワインバーグ角θ_Wと呼ばれ、次式で表される。

その他(others)はゲージ場とヒッグス場の相互作用または運動方程式に影響しない定数項の集合であり、質量項は、それぞれ、(1/2)m_Higgsη²、(1/2)m_WW²、(1/2)m_ZZ²、(1/2)m_AA² である(このように決めている）から、係数の比較により、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{10mm}\therefore\hspace{5mm}m_{Higgs}=\sqrt{-2\mu^2}=\sqrt{2\lambda}v$ $\hspace{40mm}m_W=\frac{gv}{2}\hspace{40mm}m_Z=\frac{v}{2}\sqrt{g^2+g^{'}^2}=\frac{gv}{2\cos\theta_W}\hspace{40mm}m_A=0\hspace{40mm}no-m_{NG}$
そして、電磁場に相当するゲージ場 A_μ の２乗項すなわち質量項はなく、光子の質量が０であると言える。

このように、電弱統一理論によれば、ヒッグス粒子 m_Higgs が存在し、光子(新しく定義された場 A_μ)には質量 m_A がなく、ウィークボゾンが３種(Z^± & Z⁰)存在することが分かる。

＜補足説明(a)－② レプトンの相互作用＞

さて、レプトン粒子場とゲージ場の相互作用 $\mathcal{L}_{int}$ は、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{leptons}=\bar{\psi}i\gamma^{\mu} D_{\mu}\psi=\bar{R}i\gamma^{\mu}D^R_{\:\:\:\:\mu}R+\bar{L}i\gamma^{\mu}D^L_{\:\:\:\:\mu}L$ $=\bar{R}i\gamma^{\mu}(\partial_{\mu}+i\frac{g^{'}}{2}B_{\mu}Y)R+\bar{L}i\gamma^{\mu}(\partial_{\mu}+i\frac{g^{'}}{2}B_{\mu}Y+i\frac{g}{2}\bf W\rm_{\mu}\cdot\bf \sigma\rm)L$
より、T=σ/2 として、W_μ・σ=2W_μ^aT^aであるから、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{int}=-\{\bar{R}\gamma^{\mu}\frac{g^{'}}{2}YR+\bar{L}\gamma^{\mu}\frac{g^{'}}{2}YL\}B_{\mu}-g\bar{L}\gamma^{\mu}T^aW_{\mu}^aL$
ここで、T_±=T₁±iT₂、W_μ^±=(W_μ¹±iW_μ²)/√2　とおくと、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $T^aW_{\mu}^a=\frac{1}{\sqrt{2}}(T_{+}W^{+}_{\mu}+T_{-}W^{-}_{\mu})+T^3W^3_{\mu}$
となるから、レプトンの弱ハイパーチャージが、左巻きに対して Y=－1、右巻きに対して Y=－2 であることを考慮して、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{int}=\frac{1}{\sqrt{2}}g\bar{L}\gamma^{\mu}(T_{+}W^{+}_{\mu}+T_{-}W^{-}_{\mu})L+g\bar{L}\gamma^{\mu}T^3W^3_{\mu}L+g^{'}\{\bar{R}\gamma^{\mu}R+(1/2)\bar{L}\gamma^{\mu}L\}B_{\mu}$
W_μ³、B_μ を Z_μ および A_μ で表すと、、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{int}=\frac{1}{\sqrt{2}}g\bar{L}\gamma^{\mu}(T_{+}W^{+}_{\mu}+T_{-}W^{-}_{\mu})L$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{40mm}+\{g\bar{L}\gamma^{\mu}T^3L\cos\theta_W+g^{'}[\frac{1}{2} \bar{L}\gamma^{\mu}L+\bar{R}\gamma^{\mu}R]\sin\theta_W\}Z_{\mu}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{40mm}+\{g\bar{L}\gamma^{\mu}T^3L\sin\theta_W-g^{'}[\frac{1}{2} \bar{L}\gamma^{\mu}L+\bar{R}\gamma^{\mu}R]\cos\theta_W\}A_{\mu}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{40mm}\equiv\frac{g}{2\sqrt{2}}\{J^{\mu}_{+}W^{+}_{\mu}+J^{\mu}_{-}W^{-}_{\mu}+J^{\mu}_0Z_{\mu}\}+eJ^{\mu}_{em}A_{\mu}$
最後の定義式では、 A_μ を電磁場と同一と見るので、結合定数は電磁相互作用の結合定数(すなわち素電荷 e )と同一と考える。すなわち、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $e=g\sin\theta_W=g^{'}\cos\theta_W$
ところで、ここで定義された J^μ_±、J^μ₀、J^μ_em（これらを荷電弱カレント、中性カレント、電磁カレントという）は、次のように表すことができる。（カイラル表現のγ行列の関係式 γ^μγ^ν = －γ^νγ^μ（μ≠ν）、(γ⁵)² = 1 並びに $\bar{\psi}_L=\bar{\psi}(1+\gamma^5)/2\:\:\:\:{ie}\:\:\:\:\bar{L}_e=(\bar{\nu}_e,\bar{e})(1+\gamma^5)/2$ を使う)
　　　　　　　　　　　　　　　　 $J^{\mu}_{+}=2\bar{L}\gamma^{\mu}T_{+}L$ $=2(\bar{\nu}_e,\bar{e})\frac{1+\gamma^5}{2}\gamma^{\mu}\left(0\:\:1 \\0\:\:0 \right)\frac{1-\gamma^5}{2}\left(\nu_e \\ e \right)$ $=2\bar{\nu}_{eL}\gamma^{\mu}e_L$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{50mm}=2\bar{\nu}_e\frac{1+\gamma^5}{2}\gamma^{\mu}\frac{1-\gamma^5}{2}=2\bar{\nu}_e\gamma^{\mu}(\frac{1-\gamma^5}{2})^2e$ $=\bar{\nu}_e\gamma^{\mu}(1-\gamma^5)e$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $J^{\mu}_{-}=2\bar{L}\gamma^{\mu}T_{-}Le$ $=2(\bar{\nu}_e,\bar{e})\frac{1+\gamma^5}{2}\gamma^{\mu}\left(0\:\:0 \\1\:\:0 \right)\frac{1-\gamma^5}{2}\left(\nu_e \\ e \right)$ $=2\bar{e}_{L}\gamma^{\mu}\nu_{eL}=\bar{e}\gamma^{\mu}(1-\gamma^5)\nu_e$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $J^{\mu}_{0}=2\sqrt{2}\{\bar{L}\gamma^{\mu}T^3L\cos\theta_W+\frac{g^{'}}{g}[\frac{1}{2} \bar{L}\gamma^{\mu}L+\bar{R}\gamma^{\mu}R]\sin\theta_W\}=\:\:\cdots\:\:$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{50mm}=\frac{\sqrt{2}}{2\cos\theta_W}\{\bar{\nu}_e\gamma^{\mu}(1-\gamma^5)\nu_e-\bar{e}\gamma^{\mu}(1-4\sin^2\theta_W-\gamma^5)e\}$
また、g sinθ_W = g' cosθ_W = e と置いたから、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $J^{\mu}_{em}=\bar{L}\gamma^{\mu}T^3L-\frac{1}{2}\bar{L}\gamma^{\mu}L-\bar{R}\gamma^{\mu}R$ $=-\bar{L}_{e}\gamma^{\mu}(\frac{1}{2}-T^3)L_e+\bar{R}_e\gamma^{\mu}R_e$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{50mm}=-\bar{L}_{e}\gamma^{\mu}\left( 0\:\:0 \\ 0\:\:1\right)L_e-\bar{R}_e\gamma^{\mu}R_e$ $=-(\bar{\nu}_e,\bar{e})\frac{1+\gamma^5}{2}\gamma^{\mu}\left( 0\:\:0 \\ 0\:\:1\right)\frac{1-\gamma^5}{2}\left(\nu_e\\e\right)-\bar{e}\frac{1-\gamma^5}{2}\gamma^{\mu}\frac{1+\gamma^5}{2}e$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{50mm}=-\bar{e}\frac{1+\gamma^5}{2}\gamma^{\mu}\frac{1-\gamma^5}{2}e-\bar{e}\frac{1-\gamma^5}{2}\gamma^{\mu}\frac{1+\gamma^5}{2}e$ $=-\bar{e}\gamma^{\mu}e$

再び、整理して書き直すと、相互作用は、(ψ_e を e と表し、且つ素電荷も e と表してきたので紛らわしいので、以下の式では q =－e　としている）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{int}\equiv\frac{g}{2\sqrt{2}}\{J^{\mu}_{+}W^{+}_{\mu}+J^{\mu}_{-}W^{-}_{\mu}+J^{\mu}_0Z_{\mu}\}+eJ^{\mu}_{em}A_{\mu}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{40mm}=\frac{g}{2\sqrt{2}}\bar{\nu}_e\gamma^{\mu}(1-\gamma^5)eW_{\mu}^{+}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{50mm}+\frac{g}{2\sqrt{2}}\bar{e}\gamma^{\mu}(1-\gamma^5)\nu_eW_{\mu}^{-}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{50mm}+\frac{g}{4\cos\theta_W}\{\bar{\nu}_e\gamma^{\mu}(1-\gamma^5)\nu_e-\bar{e}\gamma^{\mu}(1-4\sin^2\theta_W-\gamma^5)e\}Z_{\mu}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{50mm}+q\bar{e}\gamma^{\mu}eA_{\mu}$

カレント $J^{\mu}=\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi$ は、始状態を i 、終状態を f として、 $J^{\mu}=\bar{\psi}_f\gamma^{\mu}\psi_i$ のように、右側を始状態（消滅粒子）、左側を終状態（生成粒子）と解釈します。
また、ゲージ粒子例えばボゾン粒子 W が　W → e + ν_e のように、入射する W と相互作用するカレントの電荷が減じる場合、W は負の電荷を持つ（すなわち　W^－）と言えます。

このように考えると、上式１行目は、負の電荷を持つ電子(e)が、正の電荷を有する W^＋のボゾンと相互作用（吸収）し、電荷を持たない電子ニュートリノ(ν_e) に変化することをあらわしている。 W^± は、粒子・反粒子の関係にあるから、別の言い方をすると、負の電荷を持つ電子(e)が、負の電荷を有する W^－のボゾンを放出して、電荷を持たない電子ニュートリノ(ν_e) に変化するとも言える。すなわち、上図左側に示した３点相互作用を記述している。
一方、上式２行目は、電荷を持たない電子ニュートリノ(ν_e)が、負の電荷を有する W^－のボゾンと相互作用（吸収）し、負の電荷を持つ電子(e)に変化することをあらわしている。すなわち、上図右側に示した３点相互作用を記述している。
更に、上式３行目・４行目は、電子(e)－電子(e)間ならびに　電子ニュートリノ(ν_e)－電子ニュートリノ(ν_e)間のカレントに関与する(電荷が変化しない)から、これらのカレントと相互作用する Z 粒子や A 粒子（ie 光子、γ粒子）の電荷は０といえる。すなわちウィークボゾンにも電荷０の中性ボゾン Z⁰ が存在し、電磁場のゲージ粒子である光子 A の電荷が０であることを意味する。

まとめると、電荷を右肩に示せば、各素粒子の電荷は、次の通りとなる。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $W^{+}(W-boson)\hspace{5mm},\hspace{5mm}W^{-}(W-boson)\hspace{5mm},\hspace{5mm}Z^{0}(Z-boson)\hspace{5mm},\hspace{5mm}A^{0}(photon)$

反粒子の絡む相互作用の解釈として、下左図に示すようなミューオンの崩壊を取り上げておこう。このミューオンの崩壊は、当初、下左図のような４点相互作用（フェルミ相互作用）として理解されていたものであるが、標準理論では、これを下中央図に示すように、２つの３点相互作用ならびにそれを結ぶゲージ粒子の放出・吸収として理解する。しかし下中央図右側の３点相互作用ではカレントとしての流れになってない。これは反粒子 $\bar{\nu}_e$ が存在するためである。反粒子は、質量は同じで電荷の異なるものであるが、理論上では負のエネルギーを持つ。負のエネルギーの扱いを時間を逆行する正のエネルギーを有する粒子として図示するとカレントとしての流れが見えてくる。このように反粒子を表した図をファインマン図と呼ぶ。下右図のファインマン図では、反粒子のカレントとしての運動方向を赤字で示している。(勿論現実的には下中央図の方向に移動する）

上右図のファインマン図を参考に上記のカレントの式を見てみよう。上記のカレントの式は第１世代のレプトン(e、ν_e)のものであったが、これは第２世代のレプトン（μ、ν_μ)でも成り立つので、(e、ν_e)を（μ、ν_μ)に置き換えれたものを追加すれば今考えているカレントの式となる。すなわち、上右図左の３点相互作用 $\bar{\nu}_{\mu}\gamma^{\rho}(1-\gamma^5)\mu W_{\rho}^{+}$ では、負の電荷を持つ電子(μ)が、負の電荷を有する W^－のボゾンを放出して、電荷を持たないミューニュートリノ( $\nu_{\mu}$ に変化し、上右図右の３点相互作用 $\bar{e}\gamma^{\rho}(1-\gamma^5)\nu_eW_{\rho}^{-}$ では、電荷を持たない反電子ニュートリノ( $\bar{\nu}_e$ )ie時間逆行する電子ニュートリノ( $\nu_e$ )が、負の電荷を有する W^－のボゾンと相互作用（吸収）し、負の電荷を持つ電子(e)に変化することをあらわしている。＜[注] W^± は、粒子・反粒子の関係にある＞


       ＜参考＞パラメータ の値（g, θ_W, λ)

        ボゾン粒子・ヒッグス粒子の質量の観測値（他にフェルミ定数 G_F ・微細構造定数α）より、下記のパラメータの値がえられる。

＜補足説明(b) 狭義標準理論（電弱統一理論）総まとめ＞（レプトン・クウォーク・ゲージ粒子・ヒッグス粒子　＆　湯川相互作用）

ハドロンも含めた理論への拡張は、ハドロンのカレントをクォークレベルで表現することによって行われる。例えば、中性子と陽子は、それぞれ３つのクォーク udd、uud で構成されるので、中性子のβ崩壊はクォークの遷移 d→u で記述できると考えられる。 $SU(2)\otimes U(1)$ ゲージ理論では、u クォークと d クォークの左巻き成分は SU(2)の２重項をなし、右巻き成分は SU(2)の１重項をなすと考える。例えば第１世代のみでは、クォークを q (アップクォークを u ,ダウンクォークを d)、レプトンを l (電子を e ,電子ニュートリノを ν_e)、左・右巻きを L,R 、世代数を i=1,2,3 と表して、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $q^1_L=q^{u}_L=\left(u_L \\ d_L \right){,} \hspace{100mm}\hspace{30mm}q^1_R=q^{u}_R=u_R{,} \hspace{100mm}\hspace{40mm}q^1_R=q^d_R=d_R$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $l^1_L=l^{e}_L=\left(e_L \\ \nu_{eL} \right){,} \hspace{100mm}\hspace{30mm}l^1_R=l^{e}_R=e_R$
と考える。このように３世代にわたる素粒子を以下のように表現することとする。

電荷Ｑ、アイソスピン第３成分 T³、弱ハイパーチャージ Y は、第１世代について書くと、以下の通りである。
各成分に、電荷Ｑ、弱アイソスピンＴ³を作用させると、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $Q\left(u_L\\d_L\right)=\left(+\frac{2}{3}u_L\\-\frac{1}{3}d_L\right)$ $\hspace{60mm}Qu_R=+\frac{2}{3}u_R \hspace{60mm}Qd_R=-\frac{1}{3}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $T^3\left(u_L\\d_L\right)=\left(+\frac{1}{2}u_L\\-\frac{1}{2}d_L\right)$ $\hspace{60mm}T^3u_R=0 \hspace{80mm}T^3d_R=0$
西島ーゲルマンの関係式 Q=T³+(1/2)Y より、クォークの弱ハイパーチャージ Y は、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $Y\left(u_L\\d_L\right)=\left(+\frac{1}{3}u_L\\+\frac{1}{3}d_L\right)$ $\hspace{60mm}Yu_R=+\frac{4}{3}u_R \hspace{60mm}Yd_R=-\frac{2}{3}$

ラグランジアン密度は次式であらわされる。(以下の式では、添え字 i,j についても、その上付き・下付きに関係なく、同じものがあればその和をとるものする。）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}-\frac{1}{4}f_{\mu\nu}f^{\mu\nu}$ $\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{70mm}\leftarrow$ （ゲージ場強度項）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{15mm}+\bar{q}^i_Li\gamma^{\mu}D_{\mu}q_{Li}+\bar{u}^i_Ri\gamma^{\mu}D_{\mu}uq_{Ri}$ $+\bar{d}^i_Ri\gamma^{\mu}D_{\mu}d_{Ri}+\bar{l}^i_Li\gamma^{\mu}D_{\mu}l_{Li}+\bar{e}^i_Ri\gamma^{\mu}D_{\mu}e_{Ri}$ $\hspace{50mm}\leftarrow$ （フェルミオン運動項）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{15mm}+\bar{q}^i_Ly^{(u)}_{ij}\tilde{\Phi}u_{Rj}+\bar{q}^i_Ly^{(d)}_{ij}\Phi d_{Rj}+\bar{l}^i_Ly^{(e)}_{ij}\Phi e_{Rj}+{h.c.}$ $\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{90mm}\leftarrow$ （湯川相互作用項）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{15mm}+(D_{\mu}\Phi)^{\dagger}(D^{\mu}\Phi)+\mu^2\Phi^{\dagger}\Phi-\lambda(\Phi^{\dagger}\Phi)^2$ $\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{90mm}\leftarrow$ （ヒッグス場項）

Φが、真空期待値＜Φ＞=(1/√2)(0,v)^tをとるとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $$Z^0_{\mu} \\A_{\mu}$=$\cos\theta \:\:-\sin\theta \\\sin\theta \:\:\cos\theta $$W^3_{\mu} \\ B_{\mu}$ \hspace{40mm}\sin\theta=\frac{g^{'}}{\sqrt{g^{'}^2+g^2}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $W^{\pm}=\frac{1}{\sqrt{2}}(W^1_{\mu}\mp iW^2_{\mu})$
とおけば、(ダランベールシアン：□=∂²/∂t²-Σ_i∂²/∂(xⁱ)²(i=1-3))
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{gauge}=\frac{1}{2}(W^{+\mu})^{\dagger}(g_{\mu\nu}\box-\partial_{\mu}\partial_{\nu})W^{+\nu}+\frac{g^2v^2}{8}(W^{+}_{\mu})^{\dagger}W^{+\mu}$ $\hspace{50mm}\leftarrow$ （ゲージボゾン　W⁺ 運動項＋質量項）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{50mm}+\frac{1}{2}(W^{-\mu})^{\dagger}(g_{\mu\nu}\box-\partial_{\mu}\partial_{\nu})W^{-\nu}+\frac{g^2v^2}{8}(W^{-}_{\mu})^{\dagger}W^{-\mu}$ $\hspace{50mm}\leftarrow$ （ゲージボゾン　W^- 運動項＋質量項）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{50mm}+\frac{1}{2}Z^0^{\mu}(g_{\mu\nu}\box-\partial_{\mu}\partial_{\nu})Z^{0\nu}+\frac{g^2v^2}{8\cos^2\theta}Z^0_{\mu}Z^{0\mu}$ $\hspace{100mm}\hspace{10mm}\leftarrow$ （ゲージボゾン　Z⁰ 運動項＋質量項）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{50mm}+\frac{1}{2}A^{\mu}(g_{\mu\nu}\box-\partial_{\mu}\partial_{\nu})A^{\nu}$ $\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{50mm}\leftarrow$ （ゲージ場ie電磁場Ａ運動項のみ、質量なし）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{50mm}+\cdots\:\:\cdots\:\:\cdots$ $\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{55mm}\leftarrow$ （相互作用項）


                      ＜補足＞式の解釈

                             ゲージ場Ｗ，Ｚには、W_μW^μ および　Z_μZ^μ の質量項があるから、ヒッグス機構により、
                             ウィークボゾンは質量を獲得することがわかる。残りのゲージ場Ａには、A_μA^μで表される
　　　　　　　　　　　　　　 質量項がない、すなわちゲージ場Ａの対称性が残っていることを意味する。弱い相互作用と
                             電磁気相互作用するゲージボゾンのうち質量がないのは光子だけであるので、ゲージ場Ａ
                             は光子を表すと解釈できる。
　　　　　　　　　　　　　　 このことを数式で示すと、ヒッグス場の真空期待値を＜Φ＞=(1/√2)(0,v)^tととることで、
　　　　　　　　　　　　　　 U_Y(1)SU(2)ゲージ変換
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 の対称性が破れるが、ω¹=0,ω²=0,ω³=ω、α=ω/2 に対して、                                                                                                                   
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　 のようになり、電磁場としてのU_Y(1)変換 ie U_em(1)変換の対称性が保たれるということである。

フェルミオンを含む項は、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{fermion}=\bar{u}^i_Li\gamma^{\mu}\partial_{\mu}u_{Li}+\bar{u}^i_Ri\gamma^{\mu}\partial_{\mu}u_{Ri}+\bar{u}^i_L\frac{y^{(u)}_{ij}}{\sqrt{2}}u_{Rj}$ $+\bar{u}^i_R\frac{(y^{(u)})^{\dagger}_{ij}v}{\sqrt{2}}u_{Lj}$ $\hspace{75mm}\leftarrow$ （クォーク　運動項＋質量項）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm}+\bar{d}^i_Li\gamma^{\mu}\partial_{\mu}d_{Li}+\bar{d}^i_Ri\gamma^{\mu}\partial_{\mu}d_{Ri}+\bar{d}^i_L\frac{y^{(d)}_{ij}}{\sqrt{2}}d_{Rj}$ $+\bar{d}^i_R\frac{(y^{(d)})^{\dagger}_{ij}v}{\sqrt{2}}d_{Lj}$ $\hspace{85mm}\leftarrow$ （クォーク　運動項＋質量項 )
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm}+\bar{e}^i_Li\gamma^{\mu}\partial_{\mu}e_{Li}+\bar{e}^i_Ri\gamma^{\mu}\partial_{\mu}e_{Ri}+\bar{e}^i_L\frac{y^{(e)}_{ij}}{\sqrt{2}}e_{Rj}$ $+\bar{e}^i_R\frac{(y^{(e)})^{\dagger}_{ij}v}{\sqrt{2}}e_{Lj}+\bar{\nu}^i i\gamma^{\mu}\partial_{}\nu_i$ $\hspace{15mm}\leftarrow$ （レプトン　運動項＋質量項 )
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm} +\frac{g}{\sqrt{2}}\bar{u}^i_L\gamma^{\mu}d_{Li}W^{+}_{\mu}+\frac{g}{\sqrt{2}}\bar{\nu}^i_L\gamma^{\mu}e_{Li}W^{+}_{\mu}$ $+\frac{g}{\sqrt{2}}\bar{d}^i_L\gamma^{\mu}u_{Li}W^{-}_{\mu}+\frac{g}{\sqrt{2}}\bar{e}^i_L\gamma^{\mu}\nu_{Li}W^{-}_{\mu}$ $\hspace{5mm}\leftarrow$ （ W ﾎﾞｿﾞﾝ相互作用）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm} +\frac{g}{2\cos\theta}}\bar{u}^i_L\gamma^{\mu}(1-\frac{4}{3}\sin^2\theta)u_{Li}Z^{0}_{\mu}-\frac{g}{2\cos\theta}\bar{u}^i_R\gamma^{\mu}\frac{4}{3}\sin^2\theta u_{Ri}Z^0_{\mu}$ $\hspace{100mm}\hspace{5mm}\leftarrow$ （ Z⁰ ﾎﾞｿﾞﾝ相互作用）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm} +\frac{g}{2\cos\theta}}\bar{d}^i_L\gamma^{\mu}(-1+\frac{2}{3}\sin^2\theta)d_{Li}Z^{0}_{\mu}+\frac{g}{2\cos\theta}\bar{d}^i_R\gamma^{\mu}\frac{2}{3}\sin^2\theta d_{Ri}Z^0_{\mu}$ $\hspace{85mm}\leftarrow$ （ Z⁰ ﾎﾞｿﾞﾝ相互作用）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm} +\frac{g}{2\cos\theta}}\bar{\nu}^i_L\gamma^{\mu}\nu_{Li}Z^{0}_{\mu}$ $\hspace{60mm}$ $\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{100mm}\hspace{15mm}\leftarrow$ （ Z⁰ ﾎﾞｿﾞﾝ相互作用）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm} +\frac{g}{2\cos\theta}}\bar{e}^i_L\gamma^{\mu}(-1+2\sin^2\theta)e_{Li}Z^{0}_{\mu}+\frac{g}{2\cos\theta}\bar{e}^i_R\gamma^{\mu}2\sin^2\theta e_{Ri}Z^0_{\mu}$ $\hspace{90mm}\leftarrow$ （ Z⁰ ﾎﾞｿﾞﾝ相互作用）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm}+\frac{2}{3}e\bar{u}^i_L\gamma^{\mu}u_{Li}A^{\mu} -\frac{1}{3}e\bar{d}^i_L \gamma^{\mu}d_{Li}A^{\mu}-e\bar{e}^i_L\gamma^{\mu}e_{Li}A^{\mu}$ $\hspace{100mm}\hspace{80mm}\leftarrow$ （電磁相互作用）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{60mm}+\frac{2}{3}e\bar{u}^i_R\gamma^{\mu}u_{Ri}A^{\mu} -\frac{1}{3}e\bar{d}^i_R \gamma^{\mu}d_{Ri}A^{\mu}-e\bar{e}^i_R\gamma^{\mu}e_{Ri}A^{\mu}$ $\hspace{100mm}\hspace{75mm}\leftarrow$ （電磁相互作用）


                      ＜補足＞式の解釈

                             式右側の注釈で示す項の内容を見ると、電磁相互作用および中性弱Ｚボゾン相互作用は、
　　　　　　　　　　　　　　 左巻き粒子にも右巻き粒子にも働くが、荷電弱Ｗボゾンは、右巻き粒子にのみ働くことが分かる。
                             このように、弱い力は、右左を区別する、すなわちパリティ変換（空間反転、鏡像変換）に対して
　　　　　　　　　　　　　　 対称性を示さない。言い換えれば、弱い力はパリティ対称性を破る。
                             ニュートリノは、Ｗボゾン（ウィークボゾン場）とは相互作用するが、光子（電磁場）とは相互作用
　　　　　　　　　　　　　　 をしないことも式から読み取れる。

クォークの質量項をみると、左巻きフェルミオンと右巻きフェルミオンの世代が混合している。すなわち湯川結合定数の行列が対角行列となっていない。つまり、ラグランジアン密度のフェルミオン場は質量固有状態をあらわしていない。これらの場を質量固有状態のものに移す（クォークの固有の質量を得る）には、湯川結合行列を対角化しなければならない。
今、u,c,tクォークの質量項に注目すると、y^(u)_ij v /√2 が質量 M^(u)に相当するが、２つのユニタリー行列 U,V を用いて対角化できて、この対角化した行列を M^(u)'=diag ( m^(u)'_ii)と置くと、（上記のＬ_fermion第１行第３・４項）は、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{mass(u)}=\bar{u}^i_L\frac{y^{(u)}_{ij}}{\sqrt{2}}u_{Rj}$ $+\bar{u}^i_R\frac{(y^{(u)})^{\dagger}_{ij}v}{\sqrt{2}}u_{Lj}\equiv \bar{u}^{'}^i_LM^{(u)'}_{ij}u^{'}_{Rj}+\bar{u}^{'}^i_R(M^{(u)'}_{ij})^{\dagger}u^{'}_{Lj}$ $\hspace{20mm}{where}\hspace{20mm}M^{(u)'}=U^{(u)}\{\frac{y^{(u)}v}{\sqrt{2}}\}(V^{(u)})^{\dagger}$

ここで、質量固有状態（u'_L、d'_L)を以下のように定義した。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $U^{(u)}_{ij}u_{Lj}\equiv u^{'}_{Li} \hspace{40mm}V^{(u)}_{ij}u_{Rj}\equiv u^{'}_{Ri}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $U^{(d)}_{ij}d_{Lj}\equiv d^{'}_{Li} \hspace{40mm}V^{(d)}_{ij}d_{Rj}\equiv d^{'}_{Ri}$
これらのユニタリー行列を用いて、クォークの固有の質量が次のように得られる。（下左が上記のＬ_fermion第１行第３・４項より u,c,tクオーク、下右上記のＬ_fermion第2行第３・４項より d,s,bクオーク）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $U^{(u)}M^{(u)}V^{(u)}^{\dagger}=M^{(u)}^{'}=$m^{'}_u\:\:0\:\:0 \\ 0\:\:m^{'}_c\:\:0 \\ 0\:\:0\:\:m^{'}_t$$ $\hspace{40mm}U^{(d)}M^{(d)}V^{(d)}^{\dagger}=M^{(d)}^{'}=$m^{'}_d\:\:0\:\:0 \\ 0\:\:m^{'}_s\:\:0 \\ 0\:\:0\:\:m^{'}_b$$
また、ＷボゾンとクォークカレントJ_μの相互作用項の一部（上記のＬ_fermion第４行第１項）を、質量固有状態の場で書くと、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $(J_{\mu}W^{+}=)\frac{g}{\sqrt{2}}\bar{u}^i_L\gamma^{\mu}d_{Li}W^{+}_{\mu}$ $=\frac{g}{\sqrt{2}}\bar{u}^{'}^i_L\{U^{(u)}_{ij}\gamma^{\mu}U^{(d)}^{\dagger}_{jk}\}d^{'}_{Lk}W^{+}_{\mu}$ $=\frac{g}{\sqrt{2}}\bar{u}^{'}^i_L\gamma^{\mu}(V_{CKM})_i^jd^{'}_{Lj}W^{+}_{\mu}$
ここに、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $V_{CKM}\equiv U^{(u)}U^{(d)}^{\dagger}\hspace{100mm}(\hspace{10mm}V_{CKM}^{\dagger}V_{CKM}=I\hspace{10mm})$

このＶ_CKM をカビボ・小林・益川行列という。

クォークは質量の固有状態のみ観測可能され、クォークとは質量の固有状態を意味するので、混乱のないように、ここで、「’」の有無を逆に書いて、質量の固有状態を(d,s,b)、フレーバーの固有状態(d',s',b')と書き改めると、両者はつぎの関係を満たす。
　　　　　　　　　　　　　　　　 $d^{'}_{Li}\equiv$d^{'}\\s^{'}\\b^{'}$=$V_{ud}\:\:V_{us}\:\:V_{ub} \\ V_{cd}\:\:V_{cs}\:\:V_{cb} \\ V_{td}\:\:V_{ts}\:\:V_{tb} $$d\\s\\b$$
すなわち、フレーバーの固有状態（d',s',b')は、質量の固有状態（d,s,b)の線形結合で表されており、世代間の混合があることを意味する。

この表現を用いて、上の相互作用項を書き直すと、同一世代間の変化（d'→u、s'→c、b'→t)を表すカレントとなることが分かる。（d',s',b'のフレーバー固有状態は、(u,d'),(c,s'),(t,b')の対で反応する）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $J_{\mu}W^{+}=\frac{g}{\sqrt{2}}\bar{u}^i_L\gamma^{\mu}d^{'}_{Li}W^{+}_{\mu}=\frac{g}{\sqrt{2}}$\bar{u}\:\:\bar{c}\:\:\bar{t}$\gamma^{\mu}$d^{'}\\s^{'}\\b^{'}$W^{+}_{\mu}$
このように、弱い相互作用では世代間の転移が起こることを意味している。（ V_CKMの各要素は転移の確率を表しており、V_CKM≠I であるとして、上式を説明すれば、例えばｊ世代の d'_Lj（書き直し後の質量固有状態 d_Lj、フレーバ固有状態 d'に混じる）（２世代の s クォーク) が消滅し、i 世代の u'_Lⁱ（書き直し後の質量固有状態 u_Lⁱ ）（例えば 1世代の u クォーク) が生成するものもあるといえる。すなわち、２世代の下系列のストレンジクォークが１世代の上系列のアップクォークに、CKM行列要素の絶対値（今の例では｜V_us｜²）に比例する割合で、転移する。

この世代間の転移は、下系列から上系列への転移に限ったものではなく、その逆もある。これは、上記のＬ_fermion第４行第３項から、次式が得れれることからも分かる。このように、上系列のアップクォーク u が下系列のストレンジクォークへ転移する割合は、やはり｜V_us｜² に比例するといえる。（何故なら｜V^'_mn｜²＝｜V^*_nm｜²）
　　　　　　　　　　　　　　　　 $J_{\mu}W^{-}=\frac{g}{\sqrt{2}}\bar{d}^i_L\gamma^{\mu}u^{'}_{Li}W^{-}_{\mu}=\frac{g}{\sqrt{2}}$\bar{d}\:\:\bar{s}\:\:\bar{b}$\gamma^{\mu}$u^{'}\\c^{'}\\t^{'}$W^{-}_{\mu}$ $=\frac{g}{\sqrt{2}}$\bar{d}\:\:\bar{s}\:\:\bar{b}$\gamma^{\mu}V_{CKM}^{'}$u\\c\\t$W^{-}_{\mu}$

　　　　　　　　　　　　　　　　 $\hspace{100mm}\mbox{where}\hspace{20mm}V_{CKM}^{'}=V_{CKM}^{\dagger}$

カビボ・小林・益川行列 V_CKMの具体的な表記法は４種類あるが、標準表記といわれるものの簡略表記であるウォルフェンシュタイン表記では、４つの実数 λ,A,ρ,η により、
　　　　　　　　　　　　　　　　 $V_{CKM}=$1-\frac{\lambda^2}{2}\:{,}\:\lambda\:{,}\:A\lambda^3(\rho-i\eta) \\ -\lambda\:{,}\:1-\frac{\lambda^2}{2}\:{,}\:A\lambda^2 \\ A\lambda^3(1-\rho-i\eta)\:{,}\:-A\lambda^2\:{,}\:1 $$ $\simeq $0.97\:\:\:\:0.22\:\:\:\:0.003\\0.22\:\:\:\:0.97\:\:\:\:0.04\\0.008\:\:\:\:0.04\:\:\:\:0.99$$
と表される。上右の行列は、各要素（複素数）の絶対値を記している。理論的（世代間混合なしとすれば）には　V_CKM=I でなければならないが、実験から得られた値には、それからのずれが見られる。

ρ－iη (＝ξe^iδ、δ：位相）の存在からＣＰ対称性の破れが説明されるが、ＣＰ対称性の破れは、カビボ・小林・益川行列の自由度の検討により、世代数が３であれば起こることが示される。これを小林・益川理論というが、この理論により、当時未発見であった、６種類のクォークが予言された。


                      ＜参考＞　ＣＰ対称性

                             Ｃ(Charge)対称性とは、荷電共役変換（電荷の反転）すなわち粒子・反粒子の反転のことであり、ｐ(parity)対称性とは、カイラル
　　　　　　　　　　　　　　 変換(鏡像関係）すなわち座標反転のことである。この変換を同時に行っても対称性が保たれることをＣＰ対称性があるという。
　　　　　　　　　　　　　　 強い相互作用と電磁相互作用ではＣＰ対称性があるが、弱い相互作用では、ＣＰ対称性が破れている。
                             この事実を説明するのが小林・益川理論である。
　　　　　　　　　　　　　　 詳しい説明は省略するが、CKM行列が一般的に NxN ユニタリー行列であるとして、独立なパラメーターはN²、そのうち回転角ie世代
                             間の転移を表すパラメーターは N(N-1)/2、残りは位相変換のパラメーターとなる。今クォークが N 世代あるとすると、観測量を変
                             化させない位相変換として 2N-1 のパラメーターの自由度が存在する。従い残る自由度は N²-N(N-1)/2-(2N-1)=(N-1)(N-2)/2 となる。
　　　　　　　　　　　　　　 つまり、N=2 なら、位相変換のパラメーターは存在せずＣＰ対称性が保たれる。しかし、N=3 なら、位相変換のパラメーターは１ケ
　　　　　　　　　　　　　　 存在（CKM行列に複素数の存在）し、ＣＰ対称性を破る。

ここには計算式を表示していないが、ニュートリノが質量を有することは右巻きのニュートリノがあることになり、クォーク場と同じ式が導けて、レプトンの弱い相互作用でも、世代間の転移起こることがわかる。このように、レプトンについても、同様の議論ができて、牧・中川・坂田行列 Ｖ_MNS が存在する。(観測可能な量は、質量固有状態の(e,μ,τ）と、フレーバ固有状態の（νe,ν_μ,ν_τ)のみで、ニュートリノの質量固有状態（ν₁,ν₂,ν₃)は観測できない。すなわちニュートリノとはフレーバー固有状態のことを意味する。）

標準理論ではニュートリノに質量はないとしている。質量がないとしているのでニュートリノは光速で移動するため、左巻きしかないとしている。
しかし、ニュートリノに質量があれば上に説明したように光速以下で移動するため右巻きψ_Rがあることとなり、クォークの場合と同様に２重項が存在し、牧・中川・坂田行列に従い、時間的な世代間の転移すなわちニュートリノ振動 （電子ニュートリノ、ミューニュートリノ、タウニュートリノ間の変化）があらわれることになる。

このことは、下図のように説明される。すなわち、質量固有状態のニュートリノはそれぞれ異なる振動数を持つ波として空間を伝搬するが、ニュートリノのフレーバーは質量の固有状態の波の重ね合わせとなり、ニュートリノが空間を飛ぶ間に波の位相が変化し、フレーバーの種類が変わる。このことをニュートリノ振動と言う。（スーパーカミオカンデでの観察は、μニュートリノとτニュートリノの振動である。地球を通る間にμニュートリノがτニュートリノに変化してしまうため、地球の裏側からくるμニュートリノの数が少なく観測されるということである。）

＜補足説明(c) ＱＣＤ理論／量子色力学理論＞

ＱＣＤ理論は、ＧＭＳ理論に似た構造をもち、SU(3)のゲージ理論であるが、ヒッグス機構を含まない理論である。ここではその内容の詳細には踏み込まないで、その波動関数の構造ならびにラグランジアン密度を紹介するに留める。

ψ_qⁱ ：　色荷i(i=1,2,3 ie Red,Green,Blue)とフレーバーq(q=1,2,3,4,5,6 ie u,d,c,s,t,b)を持つクォークを表わす自由場ディラックスピノール

　　　　　　　　　　　　 $\psi=(\psi^i_q)=$\psi^R_u\:\:\psi^R_d\cdots\psi^R_t\:\:\psi^R_b \\ \psi^G_u\:\:\psi^G_d\cdots\psi^G_t\:\:\psi^G_b \\ \psi^B_u\:\:\psi^B_d\cdots\psi^B_t\:\:\psi^B_b $$

g_s ：強い結合定数
G_μ ：グル―オン場（a=1,2,・・・,8)

　　　　　　　　　　　　 $\mathcal{L}_{QCD}=-\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^a^{\mu\nu}+i\sum_q \bar{\psi}^i_q\gamma^{\mu}(D_{\mu})_{ij}\psi^j_q-\sum_q\:\: m_q\bar{\psi}^i_q\psi_{qi}$
　　　　　　　　　　　　 $F^a_{\mu\nu}F^a^{\mu\nu}=\partial_{\mu}G^a_{\nu}-\partial_{\nu}G^a_{\mu}-g_s f_{abc}G^b_{\mu}G^c_{\nu}$
　　　　　　　　　　　　 $(D_{\mu})_{ij}=\delta_{ij}\partial_{\mu}+ig_s\sum_a\frac{\lambda^a_{i,j}}{2}G^a_{\mu}$

                 この式では、ローマ字に関しても和をとります。丁寧に書くと、

ゲルマン行列λ^a（SU(3)生成子Ｔ^a=(1/2)λ^a) ：　tr([λ^a,λ^b]λ^c)=4πf_abc
　　　　　　　　　　　　 $\lambda^a=\left(\bf\sigma\rm^a\hspace{5mm}0 \\ \hspace{25mm}0 \\ 0\:\:0\:\:0\right)$ $\hspace{40mm}\lambda^4=\left(0\:\:0\:\:1 \\ 0\:\:0\:\:0 \\1\:\:0\:\:0 \right)\hspace{40mm}\lambda^5=\left(0\:\:0\:\:-i \\ 0\:\:0\:\:0 \\i\:\:0\:\:0 \right)$
　　　　　　　　　　　　 $\lambda^6=\left(0\:\:0\:\:0 \\ 0\:\:0\:\:1 \\0\:\:1\:\:0 \right)$ $\hspace{40mm}\lambda^7=\left(0\:\:0\:\:0 \\ 0\:\:0\:\:-i \\0\:\:i\:\:0 \right)\hspace{40mm}\lambda^8=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1\:\:0\:\:0 \\ 0\:\:1\:\:0 \\0\:\:0\:\:-2 \right)$
構造定数f_abc：a＜b＜cに対する値は以下の通り。それ以外は全て０(すべての添え字に関し反対称）
　　　　　　　　　　　　 $f_{123}=1$
　　　　　　　　　　　　 $f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}=\frac{1}{2}$
　　　　　　　　　　　　 $f_{458}=f_{678}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

ＱＣＤでは、クォークの質量は、低エネルギーで強くなる相互作用によって、クォークと反クォークのペアが凝縮してカイラル対称性を破ることによって、獲得されるとする。（ＱＣＤの一モデルである、南部-Jona-Lasinioモデルでは、真空においてフェルミオン凝縮を起こし、カイラル対称性を破ることによって、質量が獲得されるとする。）

質量の起源を論ずるにはフェルミオンの凝縮を考えなければならないが、クォーク・グル―オンの性質の解析には、上に記した質量を含む式をベースに 「格子ゲージ理論」という難解な数値計算を実行することにより行われる。

[Ⅳ] 標準理論の解法／経路積分法・格子ゲージ理論

標準理論は数多くのパラメーターを含むため、実験によりそのパラメータを決定しなければならない。
しかし、自由場の運動方程式の解は得られるが、相互作用を含む運動方程式は一般的に解けない。そこで、経路積分と呼ばれる手法を用いて、主として散乱断面積を計算し、実験による散乱断面積と比較して、パラメータを決定する。

この手法もまた大変複雑で面倒なものであるのでここでは割愛することとするが、その一部でも、以下のような主要なテーマを勉強する必要がある。

    ＜電弱統一理論＞　　経路積分法（ 関連主要テーマ：正規積・時間順序積・ｳｨｯｸ定理・ﾌｧｲﾝﾏﾝ規則・散乱行列・不変振幅・散乱断面積・崩壊幅・寿命etc)
    ＜ＱＣＤ＞　　　　　格子ゲージ理論（膨大な数値計算解法 ： 時空を格子化し、格子点上の場の値の集合として場（関数）を定義）







==============================================



[戻る]

「国立科学博物館で学ぶ物理学」メニュー

回折

HR図

yasuo kawanami

	ボゾン質量	フェルミオン質量	全系（含む相互作用・ヒッグス場）
ゲージ場＜Higgs機構＞	$\mathcal{L}_{total}=\mathcal{L}_{Fermion}+\mathcal{L}_{Gauge}+\mathcal{L}_{Higgs}$ $\hspace{40mm}=\bar{\Psi}i\gamma^{\mu}D_{\mu}\Psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ $\hspace{60mm}+\|D_{\mu}(\phi)\|^2-V(\phi)$ $\hspace{80mm}\Downarrow$ ＜獲得質量＞ $\hspace{20mm}m_{Boson}=\frac{gv}{2}\hspace{20mm}m_{Higgs}=\sqrt{2\lambda}v$ $\hspace{40mm}v=<\phi>_0\:\:\:\:{:}\:\:\:\:$ ${Vacuum\:\:Expectation\:\:Value}$	$\mathcal{L}_{total}=\mathcal{L}_{Fermion}+\mathcal{L}_{Gauge}+\mathcal{L}_{yukawa}+\mathcal{L}_{Higgs}$ $\hspace{40mm}=\bar{\Psi}i\gamma^{\mu}D_{\mu}\Psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ $\hspace{60mm}+\bar{\Psi}y\Psi\phi+\|D_{\mu}(\phi)\|^2-V(\phi)$ $\hspace{80mm}\Downarrow$ ＜獲得質量＞ $\hspace{20mm}m_{Boson}=\frac{gv}{2}\hspace{20mm}m_{Higgs}=\sqrt{2\lambda}v$ $\hspace{20mm}m_{Fermion}=\frac{yv}{\sqrt{2}}$ $\hspace{40mm}v=<\phi>_0=\sqrt{\frac{\mu^2}{\lambda}}\:\:\:\:{:}\:\:\:\:$ ${Vacuum\:\:Expectation\:\:Value}$	$\mathcal{L}_{total}=\mathcal{L}_{Fermion}+\mathcal{L}_{Gauge}+\mathcal{L}_{yukawa}+\mathcal{L}_{Higgs}$ $\hspace{40mm}=\bar{\Psi}i\gamma^{\mu}D_{\mu}\Psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ $\hspace{60mm}+\bar{\Psi}y\Psi\phi+\|D_{\mu}(\phi)\|^2-V(\phi)$ 詳しく書けば $\mathcal{L}_{total}=\mathcal{L}_{Fermion}+\mathcal{L}_{Gauge}+\mathcal{L}_{yukawa}+\mathcal{L}_{Higgs}$ $\hspace{20mm}\mathcal{L}_{Fermion}=\bar{\psi}_Li\gamma^{\mu}D_{}\mu\psi_L$ $\hspace{100mm}+\bar{\psi}_Ri\gamma^{\mu}D_{\mu}\psi_R$ $\hspace{20mm}\mathcal{L}_{Gauge}=-(1/4)F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ $\hspace{20mm}\mathcal{L}_{yukawa}=-y(\bar{\psi}_L\phi\psi_R+\bar{\psi}_R\phi^{\dagger}\psi_L)$ $\hspace{20mm}\mathcal{L}_{Higgs}=(D_{\mu}\phi^)^{\dagger}(D_{\mu}\phi)-V(\phi^{\dagger}\phi)$ 　　　　　　　　　 $\hspace{60mm}V(\phi^{\dagger}\phi)=-\mu^2\phi^{\dagger}\phi+\lambda(\phi^{\dagger}\phi)^2$ 　　　　　　　　　 $\hspace{20mm}\psi_L\equiv(1/2)(1-\gamma^5)\psi$ 　　　　　　　　　 $\hspace{20mm}\psi_R\equiv(1/2)(1+\gamma^5)\psi$ 　　　　　　　　　 $\hspace{20mm}D_{\mu}=\partial_{\mu}+igA_{\mu}$

[Ⅰ]素粒子標準理論 （素粒子にどんなものがあるのかの簡単な説明は、素粒子／霧箱・サイクロトロンを参照してください。）

(0)ラグランジアン密度と運動方程式 ～変分原理・対称性・不確定性原理～

(4)ヒッグス場理論 （質量項の禁止とヒッグス場の導入）

(5)標準理論 ～ 電磁気力・弱い核力・強い核力 ～

[Ⅰ]素粒子標準理論　　（素粒子にどんなものがあるのかの簡単な説明は、素粒子／霧箱・サイクロトロンを参照してください。）

(0)ラグランジアン密度と運動方程式　～変分原理・対称性・不確定性原理～

(4)ヒッグス場理論（質量項の禁止とヒッグス場の導入）

(5)標準理論～電磁気力・弱い核力・強い核力～