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HR図

国立科学博物館で学ぶ物理学　＜ニュートン力学基本＞

[概説]

[適用例]

[Ⅰ] 回転座標系の運動方程式

(1)回転する座標系でのベクトル及びその微分

固定座標O(x,y,z)＜これを絶対系という＞のまわりを回転する座標O'(x^*,y^*,z^*)＜これを相対系という＞を考える。それぞれの座標の単位ベクトルを（i,j,k)、（i^*,j^*,j^*)とすると、任意のベクトルｒはそれぞれの座標を用いて、
　　　　　 $\bf r\rm=x\bf i\rm+y\bf j\rm+z\bf k\rm=x^*\bf i\rm^*\rm+y^*\bf j\rm^*+z^*\bf k\rm^*$
回転座標がω（ω₁,ω₂,ω₃)で回転しているとき、
　　　　　 $\bf \omega\rm=\omega _1\bf i\rm^*\rm+\omega_2\bf j\rm^*+\omega_3\bf k\rm^*$
であるとすると、右下図より容易に分かるように、次の関係が成り立つ。
　　　　　 $\frac{d\bf i\rm^*}{dt}=\omega_3\bf j\rm^*-\omega_2\bf k\rm^*$
　　　　　 $\frac{d\bf j\rm^*}{dt}=-\omega _3\bf i\rm^*\rm+\omega_1\bf k\rm^*$
　　　　　 $\frac{d\bf k\rm^*}{dt}=\omega _2\bf i\rm^*\rm-\omega_3\bf j\rm^*$
これらの関係より、
　　　　　 $\frac{d\bf i^*\rm}{dt}=\bf \omega\rm\times\bf i^*\rm$
　　　　　 $\frac{d\bf j^*\rm}{dt}=\bf \omega\rm\times\bf j^*\rm$
　　　　　 $\frac{d\bf k^*\rm}{dt}=\bf \omega\rm\times\bf k^*\rm$
従い、A=A(A_x,A_y,A_z)=A(A*_x,A*_y,A*_z)は、
　　　　　 $\bf A\rm=A_x\bf i\rm+A_y\bf j\rm+A_z\bf k\rm\hspace{120mm}\bf A\rm=A_x^*\bf i^*\rm+A_y^*\bf j\rm+A_z^*\bf k\rm$
また各成分の微分で表される微分係数dA/dt、dA*/dtを以下のように定義すると、dA/dt は絶対微分係数、dA*/dt は相対微分係数を表す。
　　　　　 $\frac{d\bf A\rm}{dt}=\frac{dA_x}{dt}\bf i\rm+\frac{dA_y}{dt}\bf j\rm+\frac{dA_z}{dt}\bf k\rm\hspace$ $\hspace{80mm}\frac{d\bf A^*\rm}{dt}=\frac{dA_x^*}{dt}\bf i^*\rm+\frac{dA_y^*}{dt}\bf j^*\rm+\frac{dA_z^*}{dt}\bf k^*\rm$
そこで、(i*,j*,k*）で表されたＡを微分すると、
　　　　　 $\frac{d\bf A^*\rm}{dt}=\frac{dA_x^*}{dt}\bf i^*\rm+\frac{dA_y^*}{dt}\bf j^*\rm+\frac{dA_z^*}{dt}\bf k^*\rm+A_x^*\frac{d\bf i^*\rm}{dt}+A_y^*\frac{d\bf j^*\rm}{dt}+A_z^*\frac{d\bf k^*\rm}{dt}$

この式に、上のdi*/dt,dj*/dt,dk*/dtの関係式を代入して整理すると、最終的に次の関係式を得る。

　　　　　 $\frac{d\bf A\rm}{dt}=\frac{d\bf A^*\rm}{dt}+\bf \omega\rm\times\bf A^*\rm$
　　　　　 $\frac{d^2\bf A\rm}{dt^2}=\frac{d^2\bf A^*\rm}{dt^2}+2\bf \omega\rm\times\frac{d\bf A^*\rm}{dt}+\bf \omega\rm\times(\bf \omega\rm\times\bf A^*\rm)+\frac{d\bf \omega\rm}{dt}\times\bf A^*\rm$

(2)回転する座標系での相対運動

右の図のように、位置関係が、
　　　　　 $\bf r\rm=\bf r^*\rm+\bf r_0\rm$
であるとき、上記の微分関係を用いると、絶対速度ｖ=v_xi+v_yj+v_zk と相対速度ｖ*=v*_xi*+v*_yj*+v*_zk* の関係は、
　　　　　 $\bf v\rm=\bf v^*\rm+\bf\omega\rm\times\bf r^*\rm+\bf v_0$
また、絶対化速度a=a_xi+a_yj+a_zk と相対加速度a*=a*_xi*+a*_yj*+a*_zk*の関係は、次の式で表される。
　　　　　 $\bf a\rm=\bf a^*\rm+2\bf \omega\rm\times\bf v^*\rm+\bf \omega\rm\times(\bf \omega\rm\times\bf r^*\rm)+\frac{d\bf \omega\rm}{dt}\times\bf r^*\rm+\bf a_o$
この式には、コリオリの加速度、転位加速度と呼ばれるものが含まれる。

　　　　　コリオリの加速度　：　
　　　　　転位加速度　　  　：　 
　　　　　求心加速度　　  　：

(3)回転する座標系での質点の相対運動

一定のωで回転する座標系で運動する質点ｍの運動方程式は、dω/dt=0であるから、F=ma より、以下のようになる。

　　　　　 $m\bf a^*\rm=\bf F\rm-m\bf a_0\rm+2m\bf v^*\rm\times\bf \omega\rm+m\bf \omega\rm\times(\bf r^*\rm\times\bf \omega\rm)$


　　　　　慣性抵抗　　 ：　
　　　　　コリオリの力 ：　
　　　　　遠心力　　 　：

[Ⅱ] 極座標系での運動方程式

(1)極座標系でのベクトル及びその微分

直角座標（x,y,z）と極座標（ρ,φ,θ）の関係は、
　　　　　 $\bf r\rm=x\bf i\rm+y\bf j\rm+z\bf k\rm$
　　　　　 $\mbox{ }=\rho\sin\theta\cos\phi\bf i\rm+\rho\sin\theta\sin\phi\bf j\rm-\rho\cos\theta\bf k\rm$
速度・加速度は、
　　　　　 $\bf v\rm=v_x\bf i\rm+v_y\bf j\rm+v_z\bf k\rm$
　　　　　　　　 $v_x=\dot\rho\sin\theta\cos\phi+\rho\dot\theta\cos\theta\cos\phi-\rho\dot\phi\sin\theta\sin\phi$
　　　　　　　　 $v_y=\dot\rho\sin\theta\sin\phi+\rho\dot\theta\cos\theta\sin\phi+\rho\dot\phi\sin\theta\cos\phi$
　　　　　　　　 $v_z=-(\dot\rho\cos\theta-\rho\dot\theta\sin\theta)$
　　　　　 $\bf a\rm=a_x\bf i\rm+a_y\bf j\rm+a_z\bf k\rm$
　　　　　　　　 $a_x=(\ddot\rho-\rho\dot\theta^2-\rho\dot\phi^2)\sin\theta\cos\phi+(\rho\ddot\theta+2\dot\rho\dot\theta)\cos\theta\cos\phi$ $-(\rho\ddot\phi+2\dot\rho\dot\phi)\sin\theta\sin\phi-2\rho\dot\theta\dot\phi\cos\theta\sin\phi$
　　　　　　　　 $a_y=(\ddot\rho-\rho\dot\theta^2-\rho\dot\phi^2)\sin\theta\sin\phi+(\rho\ddot\theta+2\dot\rho\dot\theta)\cos\theta\sin\phi$ $+(\rho\ddot\phi+2\dot\rho\dot\phi)\sin\theta\cos\phi+2\rho\dot\theta\dot\phi\cos\theta\cos\phi$
　　　　　　　　 $a_z=-(\ddot\rho-\rho\dot\theta^2)\cos\theta+(\rho\ddot\theta+2\dot\rho\dot\theta)\sin\theta$
球座標基本ベクトル（e_ρ,e_φ,e_θ)は、
　　　　　 $\bf e\rm_\rho=\sin\theta\cos\phi\bf i\rm+\sin\theta\sin\phi\bf j\rm-\cos\theta\bf k\rm$
　　　　　 $\bf e\rm_\phi=-\sin\phi\bf i\rm+\cos\phi\bf j\rm$
　　　　　 $\bf e\rm_\theta=\cos\theta\cos\phi\bf i\rm+\cos\theta\sin\phi\bf j\rm+\sin\theta\bf k\rm$

以上の関係を用いて整理すると、位置ｒ（r_ρ,r_φ,r_θ）、速度v（v_ρ,v_φ,v_θ）および加速度a（a_ρ,a_φ,a_θ）は、 a_ρ=a(a_x,a_y,a_z)・e_ρ等として整理すると、

　　　　　　　 $r_\rho=\rho\mbox{ , }r_\phi=0\mbox{ , }r_\theta=0$

　　　　　　　 $v_\rho=\dot\rho\mbox{ , }v_\phi=\rho\dot\phi\sin\theta\mbox{ , }r_\theta=\rho\dot\theta$

　　　　　　　 $a_\rho=\ddot\rho-\rho\dot\theta^2-\rho\dot\phi^2\sin^2\theta$
　　　　　　　 $a_\phi=\rho\ddot\phi\sin\theta+2\dot\rho\dot\phi\sin\theta+2\rho\dot\theta\dot\phi\cos\theta$
　　　　　　　 $a_\theta=\rho\ddot\theta+2\dot\rho\dot\theta-\rho\dot\phi^2\sin\theta\cos\theta$

(2)極座標系での質点の運動

F(F_ρ,F_φ,F_θ)、a(a_ρ,a_φ,a_θ) とすると、運動方程式は、

　　　　　　　　　　 $\bf F\rm=m\bf a\rm$

<参考＞　振り子のように、糸の長さが一定として運動を解析するときは、ρ=一定（dρ/dt=0,d²ρ/dt²=0)、
　　　　 また、振動面不変 ie φ=0(（dφ/dt=0,d²φ/dt²=0)であるから、F_ρ=mgcosθ=T（張力）、
          F_θ=-mg sinθとすると、見慣れた振り子の運動方程式となる。

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[Ⅲ]剛体の運動方程式

質点系の運動方程式は、F=maで表されるが、この式から、剛体の運動方程式が、

　　　　　 $M \frac{d^2\bf r\rm}{dt}=\Sigma \bf F\rm \hspace{40mm}\frac{d^\bf L\rm}{dt}=\Sigma \bf N\rm$ 　　　　　 $\hspace{80mm}\mbox{where}\hspace{40mm}M=\int \rho dv \mbox{ , }\bf L\rm=\int \bf \omega\rm\times(\bf \omega\rm\times\bf r\rm)dv$

の式のように導かれることを説明しておこう。

空間に固定した座標系O(x,y,z)に関する剛体の重心Gの位置ベクトルをr_Gとし、剛体に固定した座標系O*(x*,y*,z*)に関する点Ｐの位置ベクトルを rとする。点ＰのOに関する位置ベクトルをRとし、剛体は点O*を中心としてωで回転するものとする。
微小部分ｄｖ（質量密度ρ）の運動方程式は、質点系の運動方程式が成り立ち、
　　　　　 $\rho\frac{d^2\bf r\rm}{dt^2}dv=\bf F\rm+\bf U\rm$
ここに、Fは外力、Uは内力で、内力の総和は０（∫Uｄｖ=0)である。R=r_G+rであるから上の式を変形して、
　　　　　 $(\rho\frac{d^2\bf r\rm_G}{dt^2}+\rho\frac{d^2\bf r\rm}{dt^2})dv=\bf F\rm+\bf U\rm\hspace{80mm}\hspace{80mm}$ (＊)
これを積分すると、M=∫ρdv、∫Uｄｖ=0であるから、
　　　　　 $M\frac{d^2\bf r\rm_G}{dt^2}+\frac{d^2}{dt^2}\int\rho\bf r\rm dv=\bf F\rm$
第２項は、
　　　　　 $\int \rho\bf r\rm dv=\int \rho(\bf R\rm-\bf r\rm_G)dv=\int \rho\bf R\rm dv-\bf r\rm_G\int\rho dv=M\bf r\rm_G-\bf r\rm_GM=0$
従い、剛体の運動方程式は、重心に質量が集中した質点の運動方程式として表される。

　　　　　 $M\frac{d^2\bf r\rm_G}{dt^2}=\Sigma \bf F\rm$

次に、dL/dt=ΣNを導こう。
前節[Ⅰ](2)で示したように、v=ω×r+v_G(Pは剛体内では動かないから相対速度v*=0）であるから、式(＊）を変形して、
　　　　　 $\{\rho\frac{d^2\bf r\rm_G}{dt^2}+\rho\frac{d\bf \omega\rm}{dt}\times\bf r\rm+\rho\bf \omega\rm\times(\bf \omega\rm \times \bf r\rm)\}dv=\bf F\rm+\bf U\rm$
rとの外積をとり、積分すると
　　　　　 $\int \rho\bf r\rm dv\times\frac{d^2\bf r\rm_G}{dt^2}+\int \rho\bf r\rm\times(\frac{d\bf \omega\rm}{dt}\times\bf r\rm)dv$ $+\int \rho\bf r\rm \times\{\bf \omega\rm\times(\bf \omega\rm \times \bf r\rm)\}dv=\Sigma\bf N\rm$
上に示したように、∫ρrdv=0であったから、
　　　　　 $\int \rho\bf r\rm\times(\frac{d\bf \omega\rm}{dt}\times\bf r\rm)dv+\int \rho\bf r\rm \times\{\bf \omega\rm\times(\bf \omega\rm \times \bf r\rm)\}dv=\Sigma\bf N\rm\hspace{40mm}$ (＊＊)

ところで、角運動量L=∫ρr×(ω×r)dvを微分すると、
　　　　　 $\frac{d\bf L\rm}{dt}=\int\rho\frac{d\bf r\rm}{dt}\times(\bf \omega\rm\times\bf r\rm)dv+\int\rho\bf r\rm\times(\frac{d\bf\omega\rm}{dt}\times\bf r\rm)dv$ $+\int\rho\bf r\rm\times(\bf \omega\rm\times\frac{d\bf r\rm}{dt})dv$
これに、v=ω×r+v_Gすなわちdr/dt=ω×r+dr_G/dtを代入して、
　　　　　 $\frac{d\bf L\rm}{dt}=\frac{d\bf \ r\rm_G}{dt}\times(\bf \omega\rm\times\int\rho\bf r\rm dv)+\int\rho\bf r\rm\times(\frac{d\bf\omega\rm}{dt}\times\bf r\rm)dv$ $+\int\rho\bf r\rm\times\{\bf \omega\rm\times(\bf \omega\rm\times\bf r\rm)\}dv+\int\rho\bf r\rm dv\times(\bf \omega\rm\times\frac{d\bf r\rm_G}{dt})$
上に示したように、∫ρrdv=0であったから、
　　　　　 $\frac{d\bf L\rm}{dt}=\int\rho\bf r\rm\times(\frac{d\bf \omega\rm}{dt}\times\bf r\rm)dv+\int\rho\bf r\rm\times\{\bf\omega\rm\times(\bf \omega\rm\times\bf r\rm)\}dv$
式(＊＊)と比較して、固定点まわりの剛体の回転運動方程式が、次式のように導かれる。