「国立科学博物館で学ぶ物理学」メニュー

ジャイロホイール

回折

HR図

国立科学博物館で学ぶ物理学　＜電磁気学基本／Maxwell方程式＞

[概説]

[適用例]

[Ⅰ]Maxwell方程式

Maxwellの方程式は、いくつかの基本法則をもとに、電磁気の性質を体型的に現した式であり、このMaxwellの方程式とLorenzの法則を用いることにより、電磁気学の諸問題を解く事が出来ます。但し、これは古典磁気学と呼ばれるように、根源的な現象を説明することは出来ません。そのためには、素粒子論・一般相対性理論を援用する必要があります。　　　　

(1)Maxwell方程式
Maxwellの方程式は、電場の強さE、電束密度D、磁場の強さH、磁束密度B、電荷密度ρ、電流密度j の間の関係を、以下の式で表わす。
　　　　　　　　　 $\mathrm{rot}\bf E\rm+\partial \bf B\rm/\partial{t}=0\hspace{100mm}(note)\hspace{40mm} \nabla}\equiv\bf i\rm\partial/\partial x+\bf j\rm\partial/\partial y+\bf k\rm\partial/\partial z$
　　　　　　　　　 $\mathrm{rot}\bf H\rm-\partial \bf D\rm/\partial{t}=\bf j\rm\hspace{100mm}\hspace{90mm} \mathrm{rot}\bf A\rm=\nabla\times\bf A\rm$
　　　　　　　　　 $\mathrm{div}\bf D\rm=\rho\hspace{100mm}\hspace{80mm}\hspace{90mm} \mathrm{div}\bf A\rm=\nabla\cdot\bf A\rm$
　　　　　　　　　 $\mathrm{div}\bf B\rm=0\hspace{100mm}\hspace{80mm}\hspace{90mm} \mathrm{grad}\phi=\nabla\phi=\bf i\rm\partial \phi/\partial x+\bf j\rm\partial \phi/\partial y+\bf k\rm\partial \phi/\partial z$

  ＜参考＞  第２式の div をとると、数学公式によりdiv(rotH)=0　および div(δD/δt)=δ(divD)/δt=δρ/δtであるから、
　　　　　　下記の電流の連続性が導かれる。

(2)分極と誘電率／絶縁体
一般的に、物質内では、分極の強さPのため、Dは、
　　　　　　　　　 $\bf D\rm=\bf P\rm+\epsilon_0\bf E\rm=\epsilon_0\chi_e\bf D\rm+\epsilon_0\bf E\rm=\epsilon_0(\chi_e+1)\bf E\rm=\epsilon_e\epsilon_0\bf E\rm=\epsilon\bf E\rm$
ここに、真空中の誘電率ε₀、電気感受率χ_e、比誘電率ε_e=(1+χ_e)、誘電率εである。(真空中ではε=ε₀)

(3)磁化と透磁率率／磁性体
一般的に、物質内では、磁化の強さMのため、Bは、
　　　　　　　　　 $\bf B\rm=\mu_0(\bf M\rm+\bf H\rm)=\mu_0\chi_m\bf H\rm+\mu_0\bf H\rm=\mu_0(\chi_m+1)\bf H\rm=\mu_m\mu_0\bf H\rm=\mu\bf H\rm$
ここに、真空中の透磁率μ₀、磁気感受率χ_m、比透磁率μ_m=(1+χ_m)、透磁率μである。(真空中ではμ=μ₀)

(4)Lorenz力
電場Ｅ・磁場Ｂによる電荷eに働く力Ｆは、電場の定義によるＦ=eＥと、磁場によるローレンツ力Ｆ=ev×Bの和で表され、
　　　　　　　　　 $\bf F\rm=e(\bf E\rm+\bf v\rm\times\bf B\rm)$

(5)電気抵抗
電場Ｅがあるとき、電流密度jは、
　　　　　　　　　 $\bf j\rm=\sigma\bf E\rm$
但し、半導体などではこの式は成り立たない。

この実験法則は、次のように説明される。導体内の電場Eによる電荷eの移動速度ｖは、
　　　　　　　　　 $v=\zeta E$
この式はオームの法則と呼ばれる実験式 I= V/Rそのものであり、、「重力場ｇの下で落下する雨粒の速度が速度の２乗に比例する抵抗のため一定となる」ことを想定すれば理解できるであろう。


　　　　　 （注)  単位体積あたりの電荷eの密度をn、電荷の移動速度をｖとすると、電流密度i=nevであるから、i=neζE となる。
　　　　　　　 　 一方導体の長さをL、断面積をS、電流をＩ、電圧をＶとすると、I=∫idSであるから、I=∫neζEdS=neζE∫dS=neζ(V/L)Sとなる。
　　　　　　　　　R=(1/neζ）(L/S)=ρ(L/S)と置くと、オームの法則 I =V/R(R：電気抵抗、ρ：比抵抗）が導かれる。

[Ⅱ]Maxwell方程式から導かれる重要な関係

(1)重要な電磁気学の法則

電磁気学の重要な法則は、Maxwellの方程式と幾つかの実験式（現代物理学の理論が必要な式）から以下のように導くことが出来る。

(a)ガウスの法則（電荷の作る電場） $\hspace{20mm}\mathrm div \bf E\rm=\rho/\epsilon_0$

Maxwell 方程式 divD=ρ、D=ε₀Dから直ちに導かれる。（Maxwell方程式そのものの出発点であるから当然）

(b)ポアソン方程式（電荷と電位） $\hspace{20mm}\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}\hspace{20mm}$ (δB/δt =0 の時）

静磁場では、δＢ/δt=0であるから、Maxwell 方程式 rotE+δＢ/δt=0より、rotE=0である。数学公式rot(gradφ)=0を適用して、
　　　　　　　　　 $\bf E\rm=-\mathrm grad \phi$
この式の両辺の div をとると、左辺は(a)で示した式であるから、数学公式 div(grad)=▽²を用い、
　　　　　　　　　 $\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$

(c)クーロンの法則（電荷と電場） $\hspace{20mm}\bf E\rm=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\bf r\rm}{r^3}\hspace{20mm}$ (δB/δt =0 の時）

ポアッソン方程式▽²φ=-ρ/ε₀の関係において、再び数学公式▽²[(1/4π）∫ f /r dV] = -f を適用してφを次式のようにとると、その関係が満足される。
　　　　　　　　　 $\phi=\frac{1}{4\pi}\int_V \frac{(\frac{\rho}{\epsilon_0})}{r} dV=\frac{1}{4\pi}\int_V \frac{(\frac{\rho}{\epsilon_0})}{R} dV$ $=\frac{1}{4\pi} \frac{(\frac{1}{\epsilon_0})}{R}\int \rho dV=\frac{1}{4\pi} \frac{(\frac{Q}{\epsilon_0})}{R}$
従い、R方向の単位ベクトルをe_R=R/Rとして、
　　　　　　　　　 $\bf E\rm=-\mathrm {grad} \phi=-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\partial}{\partial R}(\frac{1}{R})\bf e\rm_R=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}{\frac{\bf R\rm}{R^3}$

(d)磁場のポアソン方程式 $\hspace{20mm}\nabla^2\bf A\rm=-\mu_0\bf j\rm\hspace{20mm}$ (δD/δt =0 の時）

Maxwell 方程式 divB=0、および数学公式 div(rotA)=0より、
　　　　　　　　　 $\bf B\rm=\mathrm rot \bf A\rm$
と表すことが出来る。ここで導入したAをベクトルポテンシャルという。静電場では、δE/δt=0であるから、Maxwell 方程式 rotH-δD/δt=jより、rotH=jすなわちrotB=μ₀jである。数学公式rot(rotA)=grad(divA)-▽²Aを適用して、
　　　　　　　　　 $\nabla^2\bf A\rm=-\mu_0\bf j\rm$

(e)ビオ・サバールの法則（電流の作る磁場） $\hspace{20mm}d\bf H\rm=\frac{Id\bf l\rm\times\bf r\rm}{4\pi r^3}\hspace{20mm}$ (δD/δt =0 の時）

ここで再び数学公式▽²[(1/4π）∫ f /r dV] = -f を適用すると、ベクトルポテンシャルAは、次式で求められる。
　　　　　　　　　 $\bf A\rm=\frac{1}{4\pi}\int_V(\frac{\mu_0\bf j\rm}{r})dV=\mu_0\frac{1}{4\pi}\int_V(\frac{\bf j\rm}{r})dV$
さて、B=rotAであったから、
　　　　　　　　　 $\bf H\rm=\frac{1}{\mu_0}\mathrm rot\bf A\rm=rot[\frac{1}{4\pi}\int_V(\frac{\bf j\rm}{r})dV]=\frac{1}{4\pi}\int_V\mathrm rot(\frac{\bf j\rm}{r})dV$ $=\frac{1}{4\pi}\int_V\bf j\rm\times\frac{\bf r\rm}{r^3}dV=\frac{1}{4\pi}\int_l \int_S\bf j\rm\times\frac{\bf r\rm}{r^3}(dldS)=\frac{1}{4\pi}\int_l(\int_S \bf j\rm dS) \times\frac{\bf r\rm}{r^3}dl$ $\hspace{80mm}\hspace{40mm}=\frac{1}{4\pi}\int_l (I d\bf l\rm) \times\frac{\bf r\rm}{r^3}=\frac{I}{4\pi}\int \frac{d\bf l\rm\times\bf r\rm}{r^3}$
従い、
　　　　　　　　　 $d\bf H\rm=\frac{Id\bf l\rm\times\bf r\rm}{4\pi r^3}$

(f)ノイマンの公式（相互インダクタンス） $\hspace{20mm} M=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_1\int_2\frac{d\bf l\rm_1\cdot d\bf l\rm_2}{r}\hspace{20mm}$

閉回路1の電流Ｉ₁により閉回路2に鎖交する磁束Φ₂₁は、磁束密度Bの定義より、Φ₂₁=∫B₂₁・ndS₂であるが、B= rotAと置いたので、ストークスの定理 ∫ _C A・dl = ∫_S rotA・ndSを用いて、
　　　　　　　　　 $\Phi_{21}=\int_S \bf B\rm_{21}\cdot\bf n\rm dS_2=\int_S (rot\bf A\rm_1)\cdot\bf n\rm dS_2=\oint_{2}\bf A\rm_1\cdot d\bf l\rm_2$
Aは前項(e)で説明したベクトルポテンシャルであるが、dV=dl₂dSを使って、
　　　　　　　　　 $\bf A\rm_1=\frac{1}{4\pi}\int_V(\frac{\mu_0\bf j\rm_1}{r})dV_1=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{1}(\int_S \frac{\bf j\rm_1}{r}dS_1)dl_1=\mu_0\frac{I_1}{4\pi}\int_{1}d\bf l\rm_1$
従い、
　　　　　　　　　 $\Phi_{21}=\oint_{2} \{\mu_0\frac{I_1}{4\pi}\int_{1}d\bf l\rm_1 \} \cdot d\bf l\rm_2=\mu_0\frac{I_1}{4\pi}\int_1\int_2 \frac{d\bf l\rm_1\cdot d\bf l\rm_2}{r}$
相互インダクタンスMは、定義Φ₂₁=MI₁より、
　　　　　　　　　 $M=\frac{\Phi_{21}}{I_1}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_1\int_2 \frac{d\bf l\rm_1\cdot d\bf l\rm_2}{r}$

(g)ファラディの法則(電磁誘導） $\hspace{20mm} e=-\frac{d\Phi}{dt}$

Maxwell方程式 rotE+δB/δt = 0 より、rotE=-δB/δt であるから、両辺の面積分を取って、
　　　　　　　　　 $\int rot\bf E\rm\cdot d\bf S\rm=-\int \frac{\partial \bf B\rm}{\partial t}\cdot d\bf S\rm$
ストークスの定理 ∫ _C A・dl = ∫_S rotA・ndSを用いて、Φ=∫B・ndSを考慮すると、
　　　　　　　　　 $\oint _C\bf E\rm\cdot d\bf l\rm=\int _S \mathrm rot\bf E\rm\cdot d\bf S\rm=-\frac{d}{dt}\int \bf B\rm}\cdot \bf n\rm dS=-\frac{d\Phi}{dt}$
∫_C E・dl = e (e：誘導起電力）であるから、結局、
　　　　　　　　　 $e=-\frac{d\Phi}{dt}$

(h)アンペールの法則 $\hspace{20mm} \oint\bf H\rm\cdot d\bf l\rm=I$ (δE/δt =0 の時）

閉回路と鎖交する磁力線を考えると、ストークスの定理 ∫ _C A・dl = ∫_S rotA・ndSにより、
　　　　　　　　　 $\oint_C \bf H\rm\cdot d\bf l\rm=\int_S \mathrm{rot}\bf H\rm\cdot\bf n\rm dS$
従い、Maxwellの方程式第２式 rotH=δD/δt+j を代入すると、
　　　　　　　　　 $\oint_C \bf H\rm\cdot d\bf l\rm=\int_S \mathrm{rot}\bf H\rm\cdot\bf n\rm=\int_S \frac{\partial\bf D\rm}{\partial t}\cdot\bf n\rm dS+\int_S\bf j\rm\cdot\bf n\rm dS$
電場が定常状態すなわち δD/δt = 0 ならば、I=∫j・ndSであるから、以下のアンペールの法則が成り立つ。

　　　　　　　　　 $\oint_C \bf H\rm\cdot d\bf l\rm=I$

なお、鎖交する閉回路がＮ巻きの場合は、
　　　　　　　　　 $\oint_C \bf H\rm\cdot d\bf l\rm=NI$

(i)磁界中の電流に働く力 $\hspace{20mm}\bf F\rm=(\bf I\rm\times\bf B\rm) l$

ローレンツ力F=e(v×B)と電気抵抗（電場と電荷移動速度）の説明で示した関係 i =nev より、
　　　　　　　　　 $\bf F\rm=n\{e(\bf v\rm\times\bf B\rm)\}=(ne\bf v\rm)\times\bf B\rm=\bf I\rm\times\bf B\rm\cdot l$
微分形で表すと、
　　　　　　　　　 $d\bf F\rm=(\bf I\rm\times\bf B\rm) dl$

(2)真空中の光／電磁波

ここでは、真空中の電磁場を求めよう。

真空中では、D=ε₀E、B=μ₀Hであるから、第１式・第２式は、
　　　　　　　　　 $\mathrm{rot}\bf E\rm+\mu_0\partial \bf H\rm/\partial{t}=0$
　　　　　　　　　 $\mathrm{rot}\bf H\rm-\epsilon_0\partial \bf E\rm/\partial{t}=0$
Maxwellの方程式第１式で rot をとると、ベクトル演算子の公式　rot・rotA=grad・divA-▽²Aより、
　　　　　　　　　 $\mathrm{grad}\cdot \mathrm{div} \bf E\rm-\nabla^2\bf E\rm=-\mu_0\partial/\partial t (\mathrm{rot}\bf H\rm)$
この式に第２式を代入して、
　　　　　　　　　 $\mathrm{grad}\cdot \mathrm{div} \bf E\rm-\nabla^2\bf E\rm=-(\epsilon_0\mu_0)\partial^2 \bf E\rm/\partial t^2$
また、第３式より、div E=ρ/ε₀であるから、c²=ε₀μ₀とおいて、
　　　　　　　　　 $\nabla^2\bf E\rm-(1/c^2)\partial^2 \bf E\rm/\partial t^2=\mathrm grad(\rho/\epsilon_0)\hspace{80mm}\mbox{where}\hspace{40mm}c^2=1/(\epsilon_0\mu_0)$
同様にして、
　　　　　　　　　 $\nabla^2\bf H\rm-(1/c^2)\partial^2 \bf H\rm/\partial t^2=-\mathrm rot\bf j\rm$
以上２式が、真空中の電磁場を表す方程式（ラプラス方程式）となる。
電磁場に電荷が無く（ρ=0）、電流の無い（j=0）場では、EもＨも、方程式の右辺は０である。

(a)平面波（場に電荷の無い場合）

細い線状の電磁波(光）では、同位相の波面は波の進行方向に垂直な面となる。従い、電場E・磁場Hはその面内では一定で進行方向の成分を待たない平面波と考えればよい。そこで、進行方向をz軸とし、垂直面を(x,y)面にとると、ラプラス方程式の▽²=δ²/δx² +δ²/δy²+δ²/δz²のx,y微分の項目はなくなり、
　　　　　　　　　 $\frac{\partial^2\bf E\rm}{\partial z^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \bf E\rm}{\partial t^2}$

この微分方程式を変数分離法でとけば解が得られる。今、E_z=f(z)g(t)と置くと、
　　　　　　　　　 $\frac {1}{g(t)}\frac{\partial^2 g(t)}{\partial t^2}=\frac{c^2}{f(z)}\frac{\partial^2 f(z)}{\partial z^2}=a(const)$
となるから、解は、g(t)=e^pt、f(z)=e^qzとおいて代入して得られる p=±a^1/2=±iω、積分定数A,B、q=±(a)^1/2/c=±iω/c、積分定数A',B'、を用いて、
（[注]電場Ｅは t→∞で0でもないし発散もしないから a<0で無ければならない）
　　　　　　　　　 $g(t)=A\mathrm{e}^{-i\omega t}+B\mathrm{e}^{i\omega t}$
　　　　　　　　　 $f(z)=A^'\mathrm{e}^{-i(\omega/c) z}}+B^'\mathrm{e}^{i(\omega/c) z}}$
従い、係数をまとめて、E_xとして以下の解を得る。＜物理的意味のあるのは虚数表示の波の実数部のみであるから、exp(-iωt±ωz/c)とexp(iωt±ωz/c)は実数部が同じことから、一方のみで十分である＞
　　　　　　　　　 $E_x=C\mathrm{e}^{-i\omega (t-z/c)}+D\mathrm{e}^{-i\omega (t+z/c)}$
今考えているのは、ｚ方向に進む波であるから、第２項は消える。他のE_y、H_x、H_yも同様にして、
　　　　　　　　　 $E_x=E_{0x} \mathrm{e}^{-i(\omega t-z/c)}$ $\hspace{80mm}E_y=E_{0y} \mathrm{e}^{-i(\omega t-z/c)}$
　　　　　　　　　 $H_x=H_{0x} \mathrm{e}^{-i(\omega t-z/c)}$ $\hspace{80mm}H_y=H_{0y} \mathrm{e}^{-i(\omega t-z/c)}$
x,y方向の単位ベクトルをe₁,e₂として、E=E_xe₁+E_ye₂、 H=H_xe₁+H_ye₂であるから、最終的に、ＥおよびＨは次のように表される。
　　　　　　　　　 $\bf E\rm=\bf E\rm_0 \mathrm{e}^{-i\omega (t-z/c)}$
　　　　　　　　　 $\bf H\rm=\bf H\rm_0 \mathrm{e}^{-i\omega (t-z/c)}$
すなわち、波は、時間的に周期ωで振動し、空間的には位相速度cで進行する。

ここで，波数ベクトルを導入しよう。波の進行方向（ｚ方向）の単位ベクトルをe₃とし、原点からの位置ベクトルをrとするとき、次のベクトルkを波数ベクトルという。
　　　　　　　　　 $\bf k\rm=\frac{2\pi}{\lambda}\bf e\rm_3\hspace{80mm}\bf k\rm\cdot\bf r\rm=\frac{z}{\lambda}$
c=λν=λω/(2π）であるから、波数ベクトルを用いたＥおよびＨは次のように表される。
　　　　　　　　　 $\bf E\rm=\bf E\rm_0 \mathrm{e}^{-i(\omega t-\bf k\rm\cdot\bf r\rm)}$
　　　　　　　　　 $\bf H\rm=\bf H\rm_0 \mathrm{e}^{-i(\omega t-\bf k\rm\cdot\bf r\rm)}$

なお、これまでは複素数表現の電場・磁場を考えてきたが、物理的に意味のある電場・磁場は、それらの実数部（表現記号Ｒ）のみであることを付け加えておこう。すなわち、
　　　　　　　　　 $\bf E\rm=\Re\{\bf E\rm_0 \mathrm{e}^{-i(\omega t-\bf k\rm\cdot\bf r\rm)}\}$

(b)球面波（場に電荷の無い場合）

１点からの電磁波(光）では、同位相の波面はすべてその１を中心とする同心球面となる。従い、電場E・磁場Hはその面内では一定で、球対称の球面波である。そこで、球座標(r,θ、φ）で、波の進行方向を半径方向にとると、電場E・磁場Hは角度θ・φとは関係なくなる。。球座標でのラプラシアン▽²は、
　　　　　　　　　 $\nabla^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta})$ $+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}$

電場E・磁場Hは角度θ・φとは関係なく、この演算子は第１項のみとなるので、ラプラス方程式は、
　　　　　　　　　 $\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial \bf E\rm}{\partial r})=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \bf E\rm}{\partial t^2}$
左辺は、(1/r)δ²/δr²(rE)となるので、
　　　　　　　　　 $\frac{1}{r}\frac{\partial^2(r\bf E\rm)}{\partia r^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \bf E\rm}{\partial t^2}$
両辺にｒを掛けて、ラプラスの方程式は最終的に、
　　　　　　　　　 $\frac{\partial^2(r\bf E\rm)}{\partia r^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 (r\bf E\rm)}{\partial t^2}$
平面波と、形式的には同じ方程式であるから、rE=A exp{-iω(t-r/c)}となるので、
　　　　　　　　　 $\bf E\rm=\frac{\bf A\rm}{r}\mathrm{e}^{-i\omega (t-r/c)}$
同様にして、
　　　　　　　　　 $\bf H\rm=\frac{\bf B\rm}{r}\mathrm{e}^{-i\omega (t-r/c)}$

(c)位相の境界条件／スネルの法則

媒質１から媒質２へ平面波が入射するときの屈折を考えよう。平面波の方程式より、電場・磁場とも位相（-ωt+k・r）を有するが、入射点で連続性を保つためには、入射点での接線方向の位相が同一でなければならないから、入射点から接線方向の位置ベクトルを r_t とすると、
　　　　　　　　　 $-\omega t+\bf k\rm_1\cdot\bf r\rm_t=-\omega t+\bf k\rm_2\cdot\bf r\rm_t$
従い、
　　　　　　　　　 $(\bf k\rm_1-\bf k\rm_2)\cdot\bf r\rm_t=0$
k₁≠k₂であるから、
　　　　　　　　　 $(\bf k\rm_1-\bf k\rm_2)\perp\bf r\rm_t$
これは、k₁、k₂の接線方向の大きさが同じことを意味するから、入射角,屈折角を夫々θ₁,θ₂とすると、
　　　　　　　　　 $k_1\sin\theta_1=k_2\sin\theta_2$
位相速度をｖとすると v=λν、波数ベクトルk=2π/λ、絶対屈折率n=c/v(c：光速)であるから、振動数νが不変であることを考慮すると、以下のスネルの法則を得る。
　　　　　　　　　 $\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{k_2}{k_1}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}$
この式の意味するところは、波数ベクトルの方向（波面法線方向）がこの関係にあるということであって、光線方向（エネルギーの伝播方向）がこの式に従うということではない。（真空中と等方性物質間の境界、または等方性物質同士間の境界の場合には、波数ベクトルの方向と光線方向が等しいので、光線もこの関係に従うことになる。）

(c)光線伝播／ポインティングベクトル

電磁場のエネルギーを考えてみよう。
Maxwellの方程式の第１式 rotE+δB/δt = 0 とHとの内積、および第２式 rotH-δD/δt = j とEとの内積の差をとると、数学公式 div(A×B)=BrotA-ArotBを用いて、
　　　　　　　　　 $\bf E\rm\cdot\frac{\partial \bf D\rm}{\partial t}+\bf H\rm\cdot\frac{\partial \bf B\rm}{\partial t}=-\bf j\rm\cdot\bf E\rm-\mathrm {div}(\bf E\rm\times\bf H\rm)$
この式の左辺は、電磁場のエネルギー密度の時間的変化を意味し、右辺第１項は電流によるオーム損失を、第２項は電磁場のエネルギー流の位置的変化を意味する。
D=εE、B=μHであるから、左辺第１項・第２項は夫々、以下に示す電場のエネルギー密度の時間微分・磁場のエネルギー密度の時間微分となっている。
　　　　　　　　　 $w_e=(1/2)\bf E\rm\cdot\bf D\rm=(1/2)\epsilon\bf E\rm^2$
　　　　　　　　　 $w_m=(1/2)\bf H\rm\cdot\bf B\rm=(1/2)\mu\bf H\rm^2$
従い、上のエネルギー関係式は、
　　　　　　　　　 $\frac{\partial}{\partial t}(w_e+w_m)=-\bf j\rm\cdot\bf E\rm-\mathrm {div}(\bf E\rm\times\bf H\rm)$
体積Ｖで積分して、
　　　　　　　　　 $\frac{\partial}{\partial t}\int_V(w_e+w_m)dV=-\int_V\bf j\rm\cdot\bf E\rm dV-\int\mathrm {div}(\bf E\rm\times\bf H\rm)dV$
ガウスの定理 ∫_V divAdV = ∫_SA・ndSを使って書き直すと、
　　　　　　　　　 $\frac{\partial}{\partial t}\int_V(w_e+w_m)dV=-\int_V\bf j\rm\cdot\bf E\rm dV-\int_S(\bf E\rm\times\bf H\rm)dS$
右辺第１項は、E=-gradφ（φ：電位）を使って書き直すと、電流Ｉ =∫ jdS と電圧 V=∫gradφdl との積すなわちジュール熱であることが分かる。
　　　　　　　　　 $-\int_V\bf j\rm\cdot\bf E\rm dV=\int (\int \bf j\rm dS)(\mathrm{grad}\phi)dl=\bf I\rm\cdot\bf V\rm$
最後に残った右辺第２項の被積分項を、ポインティングベクトルといい、以下のようにSであらわす。

　　　　　　　　　 $\bf S\rm=\bf E\rm\times\bf H$

上で既に述べたように、このポインティングベクトルSは、電磁場のエネルギー流密度を意味する。領域Ｖの電磁場のエネルギーが時間的に変化せず、領域Ｖの中に電流が無いとすれば、電磁波は領域Ｖを通過しても損失が無く一定値を保ったまま進行することとなる。

(d)電場・磁場／電束密度・磁束密度の境界条件

Maxwellの方程式の第１式 rotE+δB/δt = 0　および第２式 rotH-δD/δt = jにおいて、境界面を囲む微小領域（境界をまたぐ高さは小さく、境界に接する方向の幅dｌ）で面積積分をとり、ストークスの定理 ∫ _C A・dl = ∫_S rotA・ndSを用いて、

　　　　　　　　　 $\oint_C\bf E\rm\cdot d\bf l\rm=-\int_S\frac{\partial \bf B\rm}{\partial t}\cdot\bf n\rm dS\to 0$
　　　　　　　　　 $\oint_C\bf H\rm\cdot d\bf l\rm=-\int_S(\frac{\partial \bf D\rm}{\partial t}+\bf j\rm)\cdot\bf n\rm dS\to 0$
ここに既に記したように、境界1・2をまたぐ高さ方向の線積分は０となるから、
　　　　　　　　　 $\oint_C\bf E\rm\cdot d\bf l\rm=0\hspace{40mm}\mbox{ ie }\hspace{40mm}(\bf E\rm_1-\bf E\rm_2)\cdot d\bf l\rm=0$
　　　　　　　　　 $\oint_C\bf H\rm\cdot d\bf l\rm=0\hspace{40mm}\mbox{ ie }\hspace{40mm}(\bf H\rm_1-\bf H\rm_2)\cdot d\bf l\rm=0$
すなわち、電場Eおよび磁場Hは境界面の接線方向tの成分が同じである。

　　　　　　　　　 $\bf E\rm_1\cdot\bf t\rm=\bf E\rm_2\cdot\bf t\rm\hspace{80mm}\bf H\rm_1\cdot\bf t\rm=\bf H\rm_2\cdot\bf t\rm$

同様に、Maxwellの方程式の第３式 divD = ρ　および第４式 divB = 0において、境界面を囲む微小円筒領域（境界をまたぐ高さは小さく、境界に接する方向の面積dS ）で体積積積分をとり、ガウスの定理 ∫_V divAdV = ∫_SA・ndSを用いて、

　　　　　　　　　 $\int_S\bf D\rm\cdot \bf n\rm dS=\int_V\mathrm {div} \bf D\rm dV=\int_V \rho dV\to \sigma dS$
　　　　　　　　　 $\int_S\bf B\rm\cdot \bf n\rm dS=\int_V \mathrm {div}\bf B\rm dV=0$
ここに既に記したように、境界面電荷σ = 0 の場合は、次式が成り立つ。
　　　　　　　　　 $\int_S\bf D\rm\cdot \bf n\rm dS=0\hspace{40mm}\mbox{ ie }\hspace{40mm}(\bf D\rm_1-\bf D\rm_2)\cdot \bf n\rm=0$
　　　　　　　　　 $\int_S\bf B\rm\cdot \bf n\rm dS=0\hspace{40mm}\mbox{ ie }\hspace{40mm}(\bf B\rm_1-\bf B\rm_2)\cdot \bf n\rm=0$
すなわち、電束密度Dおよび磁束密度Bは境界面の法線方向nの成分が同じである。