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HR図

国立科学博物館で学ぶ物理学　＜軌道要素・天球座標＞

[概説]

[適用例]

[Ⅱ]天球座標

(1)天球座標（赤道座標・黄道座標・銀河座標・地平座標）と相互変換式

＜赤経・黄経・銀経・時角は時間で表すのが慣例であるので、計算には角度に変換する必要がある。ie 24h=360°＞

(a)赤道座標(赤経α,赤緯δ)　→　黄道座標(黄経λ,黄緯β)

　　　　　 $\cos\beta\cos\lambda=\cos\delta\cos\alpha$
　　　　　 $\cos\beta\sin\lambda=\sin\epsilon\sin\delta+\cos\epsilon\cos\delta\sin\alpha$
　　　　　 $\sin\beta\hspace{40mm}=\cos\epsilon\sin\delta-\sin\epsilon\cos\delta\sin\alpha$

　　　　　　　　但し

　　　　　 $\lambda=\tan^{-1}\{\frac{\sin\epsilon\sin\delta+\cos\epsilon\cos\delta\sin\alpha}{\cos\delta\cos\alpha}\}$
　　　　　 $\beta=\sin^{-1}(\cos\epsilon\sin\delta-\sin\epsilon\cos\delta\sin\alpha)$

(b)赤道座標(赤経α,赤緯δ)　→　銀河座標(銀経L,黄緯B)変換式

　　　　　 $\cos B\cos(L-L_0)=\cos\delta\cos(\alpha-\Omega)$
　　　　　 $\cos B\sin(L-L_0)=\sin I\sin\delta+\cos I\cos\delta\sin(\alpha-\Omega)$
　　　　　 $\sin B\hspace{40mm}=\cos I\sin\delta-\sin I\cos\delta\sin(\alpha-\Omega)$

　　　　　　　　但し

　　　　　 $L=\tan^{-1}\{\frac{\sin I\sin\delta+\cos I\cos\delta\sin(\alpha-\Omega)}{\cos\delta\cos(\alpha-\Omega)}\}+L_0$
　　　　　 $B=\sin^{-1}(\cos I\sin\delta-\sin I\cos\delta\sin(\alpha-\Omega)$

(c)赤道座標(赤経α,赤緯δ)　→　地平座標(方位角 A, 高度 h)

　　　　　 $\cos h\sin A=cos\delta\sin H$
　　　　　 $\cos h\cos A=\sin\eta\cos\delta\cos H-\cos\eta\sin\delta$
　　　　　 $\sin h\hspace{50mm}=\cos\eta\cos\delta\cos H+\sin\eta\sin\delta$

　　　　　　但し　　観測者（東経ξ,北緯η） 　時角：Ｈ=Θ-α (Θ:地方恒星時）
                                        　　　
                                        　　　UT  ：世界標準時　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　Θ_G0　：UT0時におけるグリニッジ恒星時　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

       	<注> 方位角は南から西へ図った角度として、図示・計算式表示を行っている。
　　　　　　 北から東方向へ図った角度とも定義される(その場合式中:A→A-π）

(2)天体図と変換式

天体図例＜図：(x,y)平面、　ｘ軸：横方向　ｙ軸：上方向＞	赤道座標からの変換式
	＜直交座標と極座標＞　　　　　　　　　 $x=\cos\delta\cos\alpha$ 　　　　　 $y=\sin\delta$ 　　　　　 $z=-\cos\delta\sin\alpha$ z>0のみ(x,y)面に表示（星座は左右逆転して見える）回転する場合は、(x,y,z)→(x',y',z')変換を行い、 (x',y',z')を(x,y,z)と見做し同様に処理する。
	赤経０の経線を切り開き、長方形になるように強引に引き延ばす。　　　　　 $x=-\alpha$ 　　　　　 $y=\delta$ (x,y)面で表示(x=0 & y=0 ：春分点）
	＜星座早見表＞　（左図で地平面と書いた変形楕円を回転　　　　　　　　　させると、季節 or 時間に対応した　　　　　　　　　星空が見える）天の南極に穴を開け、赤道方向から北極方向へ円盤になるように強引に引き延ばす。　　　　　 $x=(\pi/2-\delta)\cos\alpha$ 　　　　　 $y=-(\pi/2-\delta)\sin\alpha$ (x,y)面で表示(ｘ軸はα=0　ie 春分点）
	＜全天図＞　（銀河全体図・宇宙背景放射図などはこの手法　　　　　　　で合成写真を作る／ページ最後参照）　　　　　　銀河座標で表した天球で、銀経１８０°の経線を切り開き、経度方向に1/2に圧縮して半球とする。この半球を銀経０の方向へ円盤になるように強引に引き延ばす。その円盤を横方向に２倍に伸ばして楕円とする。赤道座標(α,δ)を銀河座標(L,B)に変換　　　　　　　　　　 $x=\frac{2\sqr{2}\cos B\sin(L/2)}{\sqr{1+\cos B\cos(L/2)}$ 　　　　　 $y=\frac{\sqr{2}\sin B}{\sqr{1+\cos B\cos(L/2)}$ (x,y)面で表示
	地平座標で表した天球で、高度－90°(ie 地球中心方向）に穴を開け、水平方向から真上方向へ円盤になるように強引に引き延ばす。赤道座標(α,δ)を地上座標(A,h)に変換　　　　　　　　　　 $x=(\pi/2-h)\sin A$ 　　　　　 $y=-(\pi/2-h)\cos A$ h>0のみ(x,y)面で表示(x軸方向：西、y軸方向：北）
	地平座標で表した天球で観測方向の反対側に穴を開け、観測方向(南から西方向へθ）へ円盤になるよう強引に引き延ばす。　　　　　　赤道座標(α,δ)を地上座標(A,h)に変換　　　この地平座標を、観測方向地平線を頂点とする天球の　　　緯度(π/2－δ')・経度(π/2－α'）に再変換　　　　　 $\delta^'=\cos^{-1}\{\cos h\cos(A-\theta)\}$ 　　　　　 $\alpha^'=\tan^{-1}\{ \tan h/\sin(A-\theta)\}$ 　　　　　 $x=\delta^'\cos \alpha^'$ 　　　　　 $y=\delta^'\sin\alpha^'$ 　　　　　 $(z=-\cos h\cos(A-\theta))$ y>0 & z<0 のみ(x,y)へ表示 (x軸方向：西側、円形原点：観測方向地平線)

＜参考＞全天図の合成写真

                               銀河　　                                                    宇宙背景放射 (関連解説は一般相対性理論・宇宙年齢を参照)

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